Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica RAZNO ZANIMLJIVI ZADACI

Zbir brojeva na listićima

  • +1

Zbir brojeva na listićima

Postod bobanex » Ponedeljak, 02. April 2018, 12:14

Jovana je na [inlmath]10[/inlmath] listića napisala [inlmath]10[/inlmath] uzastopnih prirodnih brojeva (na svakom po jedan) pa je jedan listić izgubila. Kada je sabrala brojeve na listićima koji su joj ostali, zbir je bio [inlmath]2014[/inlmath]. Na listiću koji je Jovana izgubila je broj?
Rešenje je [inlmath]221[/inlmath].
Korisnikov avatar
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 411
Lokacija: Požarevac
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 408 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Zbir brojeva na listićima

Postod Miladin Jovic » Ponedeljak, 02. April 2018, 20:14

Obeležimo sa [inlmath]x[/inlmath] prirodan broj napisan na prvom papiriću. Neka [inlmath]z[/inlmath] bude jedna od vrednosti [inlmath]0,1,2,3,4,5,6,7,8,9[/inlmath]. Zaključujemo [inlmath]x+z[/inlmath] će biti broj na papiriću koji je Jovana izgubila.
Na osnovu zadatka, dolazimo do formulacije [inlmath]9x+(45-z)=2014[/inlmath] tj. [inlmath]9x=1969+z[/inlmath]. Kako je [inlmath]x[/inlmath] prirodan broj, zaključujemo da zbir [inlmath]1969+z[/inlmath] mora biti deljiv sa [inlmath]9[/inlmath]. Znamo da je broj deljiv sa [inlmath]9[/inlmath] ako je zbir njegovih cifara deljiv sa [inlmath]9[/inlmath]. Na osnovu toga lako zapažamo da je [inlmath]z=2[/inlmath] tj. [inlmath]x=219[/inlmath]. Dakle, traženi broj [inlmath]x+z=221[/inlmath].
Rešenje nije najsrećnije, jer nije primenljivo u slučaju da se radi o velikom broju uzastopnih brojeva. Verovatno se može izvući još neka zavisnost između [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath], pa zatim rešiti sistem od dve jednačine.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 353
Zahvalio se: 236 puta
Pohvaljen: 113 puta

Re: Zbir brojeva na listićima

Postod Daniel » Sreda, 04. April 2018, 16:27

Miladin Jovic je napisao:Rešenje nije najsrećnije, jer nije primenljivo u slučaju da se radi o velikom broju uzastopnih brojeva. Verovatno se može izvući još neka zavisnost između [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath], pa zatim rešiti sistem od dve jednačine.

Recimo da ima [inlmath]n[/inlmath] listića sa [inlmath]n[/inlmath] uzastopnih brojeva (a da je sve ostalo u zadatku isto). Tada dolazimo do jednačine
[dispmath](n-1)x=2014-\frac{n(n-1)}{2}+z[/dispmath] (za [inlmath]n=10[/inlmath] ovo bi se svelo na [inlmath]9x=1969+z[/inlmath]).
Odatle se vidi da [inlmath]\displaystyle2014-\frac{n(n-1)}{2}+z[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath](n-1)[/inlmath]. Nepoznatu [inlmath]z[/inlmath] možemo odrediti tako što odredimo celobrojni deo količnika brojeva [inlmath]\displaystyle2014-\frac{n(n-1)}{2}[/inlmath] i [inlmath](n-1)[/inlmath], zatim taj celobrojni deo količnika pomnožimo sa [inlmath](n-1)[/inlmath] i rezultat će predstavljati najveći ceo broj deljiv sa [inlmath](n-1)[/inlmath] koji je manji ili jednak od [inlmath]\displaystyle2014-\frac{n(n-1)}{2}[/inlmath]. Ako je jednak, to znači da je [inlmath]\displaystyle2014-\frac{n(n-1)}{2}[/inlmath] deljivo sa [inlmath](n-1)[/inlmath] pa je tada [inlmath]z=0[/inlmath]. Ako je strogo manji, onda [inlmath]z[/inlmath] računamo na sledeći način:
[dispmath]2014-\frac{n(n-1)}{2}+z=(n-1)\left\lfloor\frac{2014-\frac{n(n-1)}{2}}{n-1}\right\rfloor+(n-1)[/dispmath] Sabirak [inlmath](n-1)[/inlmath] na desnoj strani dodali smo kako bismo od najvećeg celog broja deljivog sa [inlmath](n-1)[/inlmath] koji je manji od [inlmath]\displaystyle2014-\frac{n(n-1)}{2}[/inlmath] dobili najmanji ceo broj deljiv sa [inlmath](n-1)[/inlmath] koji je veći od [inlmath]\displaystyle2014-\frac{n(n-1)}{2}[/inlmath].
Odatle je [inlmath]z[/inlmath]:
[dispmath]z=(n-1)\left\lfloor\frac{2014}{n-1}-\frac{n}{2}\right\rfloor-2015+\frac{n(n+1)}{2}[/dispmath] Uvrštavanjem [inlmath]n=10[/inlmath], što odgovara ovom našem zadatku, dobije se [inlmath]z=2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6979
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3613 puta
Pohvaljen: 3807 puta


Povratak na ZANIMLJIVI ZADACI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 27. April 2018, 04:21 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs