Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica RAZNO ZANIMLJIVI ZADACI

Antipodalne tačke

Antipodalne tačke

Postod ubavic » Četvrtak, 07. Jun 2018, 13:27

Evo jedan stari štos, na koji sam danas ponovo naišao. Mislim da ga nismo do sada imali na forumu:

Dokazati da na Zemljinoj kugli postoji par antipodalnih tačaka tako da je temperatura u ovim tačkama ista.
Bonus: Dokazati da na Zemljinoj kugli postoji par antipodalnih tačaka tako da su temperatura i atmosferski pritisak u ovim tačkama isti.

Antipodalne tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] su tačke na sferi, takve da su [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]O[/inlmath] kolinearne, gde je [inlmath]O[/inlmath] centar sfere (slično kao dijametralno suprotne tačke kod kružnice). Na primer 45° 15' N, 19° 52' E i 45° 15' S, 160° 8' W.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 508
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 335 puta
Pohvaljen: 485 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Antipodalne tačke

Postod Onomatopeja » Četvrtak, 07. Jun 2018, 15:19

Sam izvorni zadatak se moze resiti i znanjem iz srednje skole (bar intuitivno). No za bonus je potrebno (ako ne gresim) dosta vise artiljerije, jer se zasniva na jednoj poznatoj teoremi. No, necu jos da kvarim zabavu.

Inace, sa matematickog stanovista mislim da su potrebne jos neke dodatne pretpostavke u samom problemu, no sa fizickog aspekta je (valjda) jasno da su te dodatne pretpostavke ispunjene. Ne zelim da kazem direktno na sta mislim, jer cu time mozda odmah otkriti resenje pocetnog problema (a moguce i bonus dela).

Pitanje za tebe: da li bi znao da resis bonus problem, pod pretpostavkom da imas znanje do druge (ukljucujuci) godine fakulteta?
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

Re: Antipodalne tačke

Postod ubavic » Četvrtak, 07. Jun 2018, 20:58

Onomatopeja je napisao:Pitanje za tebe: da li bi znao da resis bonus problem, pod pretpostavkom da imas znanje do druge (ukljucujuci) godine fakulteta?

Danas sam savim slučajno naišao na elementarno rešenje bonus dela (znanje iz srednje škole je sasvim dovoljno). Zbog toga sam i postavio ovde zadatak. U međuvremenu sam primetio da postoji nekoliko detalja koji nisu navedeni u datom rešenju, koji su možda problematični (o ovome ćemo prodiskutovati malo kasnije). Iskren da budem, nisam siguran da li bih se setio datog rešenja sam.

Da li si ti uspeo da rešiš problem koristeći elementarnije znanje (do druge faksa)? Ili je ipak potrebna malo jača teorija?
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 508
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 335 puta
Pohvaljen: 485 puta

Re: Antipodalne tačke

Postod Onomatopeja » Petak, 08. Jun 2018, 09:45

Za potpuno resenje bonus dela mislim ipak da je potrebno malo jace teorije, ali za intuitivno resenje sasvim je dovoljna srednja skola. U sustini, za to intuitivno resenje (koje bar ja mogu ponuditi) se koristi resenje originalnog problema, samo je jos potrebno odredjenim modifikacijama i pazljivom analizom da se predje sa jednog na dva konstantna parametra. Tacnije, da se odredi dovoljan broj antipodalnih tacaka koje zadovoljavaju uslov da je u njima temperatura ista, pa da se na taj novi skup moze primeniti pocetni problem kako bi se dobila jos jedna konstantna velicina. Problem je verovatno oko mogucnosti formiranja takvog skupa, koji bi trebao da ima odredjena svojstva. Ako to mozemo uraditi bez vecih problema, onda nije problem resiti i bonus problem na elementaran nacin.
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

  • +1

Re: Antipodalne tačke

Postod ubavic » Sreda, 13. Jun 2018, 22:28

Ako nekog zanima rešenje:

Odaberimo proizvoljan par antipodalnih tačaka na sferi [inlmath]S^2[/inlmath]. Neka su to neke tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Pretpostavimo da temperatura u tim tačkama nije ista (jer bi u suprotnom zadatak bio gotov). Definišimo neprekidnu funkciju [inlmath]p_1 : [0, 1]\rightarrow S^2[/inlmath] takvu da je [inlmath]f(0)=A[/inlmath] i [inlmath]f(1)=B[/inlmath] (ovakva funkcija se naziva put od A do B). Neka je sada [inlmath]p_2[/inlmath] put od [inlmath]B[/inlmath] do [inlmath]A[/inlmath] koji odgovara odgovara putu [inlmath]p_1[/inlmath] na sledeći način: za svako [inlmath]x\in[0,1][/inlmath] tačke [inlmath]p_1(x)[/inlmath] i [inlmath]p_2(x)[/inlmath] su par antipodalnih tačaka. Neka je [inlmath]T : S^2 \rightarrow \mathbb{R}[/inlmath] funkcija koja svakoj tački na sferi dodeljuje temperaturu. Razumno je pretpostaviti da je ova funkcija neprekidna (ovu pretpostavku je Onamatopeja nagovestio u njegovom prvom postu). Funkcije [inlmath]T_1 = T\circ p_1[/inlmath] i [inlmath]T_2 = T\circ p_2[/inlmath] su neprekidne i za njih važi da je [inlmath](T_1(0)-T_2(0))\cdot(T_1(1)-T_2(1))<0[/inlmath], pa po teoremi o srednjoj vrednosti imamo da za neko [inlmath]x\in[0,1][/inlmath] važi [inlmath]T_1(x) - T_2(x) = 0[/inlmath], odnosno [inlmath]T_1(x)=T_2(x)[/inlmath]. Ovo je tražena tačka.

Primetimo zanimljivu činjenicu: kojim god krenemo putem od [inlmath]A[/inlmath] do [inlmath]B[/inlmath] uvek ćemo proći kroz barem jednu tačku koja ima traženo svojstvo. Iz ovoga zaključujemo da postoji skup [inlmath]X \subseteq S^2[/inlmath] koji "deli" tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], i sastoji se samo od tačaka koje imaju istu temperaturu kao odgovarajuće antipodalne tačke.

Elementarno rešenje drugog dela ide ovako nekako: Sada u skupu [inlmath]X[/inlmath] odaberemo par antipodalnih tačaka i postupimo kao u prvom delu, s tim što sada posmatramo puteve u [inlmath]X[/inlmath] i funkciju pritiska [inlmath]P[/inlmath]. Sada ćemo naći par antipodalnih tačaka u kojima je pritisak isti, ali kako se ove tačke nalaze i u [inlmath]X[/inlmath] sledi da je i temperatura u njima ista.

Meni se čini ovde problematičnim pretpostavka po kojoj je skup [inlmath]X[/inlmath] putno povezan (Zašto mi možemo stići iz [inlmath]A[/inlmath] u [inlmath]B[/inlmath] a da pritom ne napustimo [inlmath]X[/inlmath]?). Ne kažem da ovo nije tačno, već samo da zahteva malo detaljniji odgovor.

Onamatopeja, da li si ti mislio na ovo rešenje (kada si govorio o elementarnom rešenju)?
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 508
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 335 puta
Pohvaljen: 485 puta

  • +1

Re: Antipodalne tačke

Postod Onomatopeja » Četvrtak, 14. Jun 2018, 18:00

U osnovi da, to je to. Imas gresku u kucanju, hteo si [inlmath]p_1(0)=A[/inlmath], ne [inlmath]f(0)[/inlmath], i slicno za drugu vrednost. Inace, recenica: "definisimo neprekidnu funkciju" mi je bila malo konfuzna, ali mi je jasno sta si hteo da kazes.

Ideja je ta, ako gledamo razlike temperatura u paru antipodalnih tacaka, da ako se krecemo po nekoj velikoj kruznici na sferi (npr. po ekvatoru) da je onda ili ta razlika u startu nula (i time smo zavrsili), ili je razlika npr. bila broj [inlmath]5[/inlmath], te onda kad merimo tu razliku u suprotnoj antipodalnoj tacki, ona iznosi [inlmath]-5[/inlmath], pa je negde usput ta razlika bas bila nula, da bi prethodno sve bilo moguce (zbog neprekidnosti). Malo eto i opisno da prikazem.

Inace da, problem je bas to formiranje skupa [inlmath]X[/inlmath]. Na primer, mozemo da gledamo sve meridijane kroz severni i juzni pol, i onda na svako mogucem meridijanu nadjemo jednu takvu tacku gde je ista temperatura. A onda dolazi u pricu ta pretpostavka, da malim pomeranjem meridijana mozemo uhvatiti neprekidno ponovo par antipodalnih tacaka sa istom temepraturom, i tako mic po mic da se vratimo u prvu tacku i formirano sad neku paralelu recimo, tj. da imamo petlju na kojoj je uvek ista temperatura, pa da mozemo da primenimo prethodnu pricu da bismo nasli tu tacku sa istim atmosferskim pritiskom. No, ako hocemo to skroz rigorozno, meni se cini da ulazimo u neke probleme (dok je intuitivno verovatno jasno da moze proci takva prica).

Inace, sve ovo se moze uopstiti i na vise dimenzija, to jest ovo je posledica Borsuk-Ulamove teoreme, koja kaze da ako je [inlmath]f\colon S^n \to \mathbb{R}^n[/inlmath] neprekidno preslikavanje, to onda postoji tacka [inlmath]x\in S^n[/inlmath] takva da je [inlmath]f(-x)=f(x)[/inlmath]. Dokaz Borsuk-Ulamove teoreme za [inlmath]n=1[/inlmath] nije tezak i to je samo primena teoreme o medju vrednosti (a na to se i svelo, na preslikavanje iz [inlmath]S^1[/inlmath], tj. po kruznici koja se moze postaviti u ravan). Ali vec za vece dimenzije imamo probleme (ili bar meni nije poznat elementarniji dokaz). Naime, tu je potrebna obicno neka triangulacija simpleksa, odnosno svodi se na racunanja odgovarajucih fundamentalnih grupa i formiranja homologija/kohomologija. To je vec prica iz algebarske topologije i nije naivna stvar.
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta


Povratak na ZANIMLJIVI ZADACI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 16. Oktobar 2018, 08:22 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs