Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica RAZNO ZANIMLJIVI ZADACI

"Dokaz" da su svi trouglovi jednakostranični

"Dokaz" da su svi trouglovi jednakostranični

Postod Milovan » Četvrtak, 07. Februar 2013, 16:49

Evo jedne nove matematičke zavrzlame. :)

Dokazaćemo da su svi trouglovi jednakokraki. :)

Neka je dat trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], dokažimo da je [inlmath]AB=AC[/inlmath]. (slično možemo dokazati za svake dve stranice trougla, odakle sledi da su svi trouglovi ne samo jednakokraki, nego i jednakostranični :)).

Neka je [inlmath]s[/inlmath] simetala ugla kod temena [inlmath]A[/inlmath]. Neka je [inlmath]D[/inlmath] središte stranice [inlmath]BC[/inlmath], a simetrala stranice [inlmath]BC[/inlmath] je [inlmath]s_1[/inlmath].
Ako se pravci [inlmath]s_1[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] poklapaju, onda je [inlmath]AB=AC[/inlmath].
U slučaju da to ne važi, označimo sa [inlmath]O[/inlmath] presečnu tačku. Normala iz te tačke na stranicu [inlmath]AB[/inlmath] je [inlmath]OM[/inlmath], a normala na [inlmath]AC[/inlmath] je [inlmath]ON[/inlmath].
Spojimo tačku [inlmath]O[/inlmath] sa temenima [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] dužima [inlmath]OB[/inlmath] i [inlmath]OC[/inlmath].

matemanija geo.png
matemanija geo.png (4.33 KiB) Pogledano 404 puta

Iz USU sledi da su trouglovi [inlmath]\triangle AMO[/inlmath] i [inlmath]\triangle ANO[/inlmath] podudarni.
Iz SUS to važi i za [inlmath]\triangle ODB[/inlmath] i [inlmath]\triangle ODC[/inlmath].
iIz prve podudarnosti znamo da je [inlmath]MO=NO[/inlmath], iz druge da je [inlmath]BO=CO[/inlmath], a uglovi [inlmath]\angle OMB[/inlmath] i [inlmath]\angle ONC[/inlmath] su pravi.
[inlmath]\triangle BMO[/inlmath] i [inlmath]\triangle CNO[/inlmath] su dakle takođe podudarni.
Dakle, [inlmath]AM=AN[/inlmath], [inlmath]BM=CN[/inlmath].
A kako je [inlmath]AB=AM+BM=AN+NC=AC[/inlmath]

Šta ne valja? :)
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 698 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: "Dokaz" da su svi trouglovi jednakostranični

Postod Daniel » Četvrtak, 07. Februar 2013, 17:08

Sjajno! :thumbs: Veoma me raduje što su svi trouglovi jednakostranični. :D Ubuduće ću sve komplikovane zadatke s trouglima pojednostaviti tako što ću tretirati trouglove kao jednakostranične. :mrgreen: A kad mi neko bude zvocao da trougao koji sam rešavao nije jednakostraničan, samo ću ga „ućutkati“ ovim „dokazom“... :devil:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

  • +1

Re: "Dokaz" da su svi trouglovi jednakostranični

Postod Daniel » Subota, 09. Februar 2013, 21:17

Pošto se niko ne javlja, izložio bih ja svoje rešenje.

Situacija kao što je na slici nije moguća, pošto je slika namerno nacrtana „kilavo“, tj. u nesrazmeri, kako bi nas zbunila. :) Da je nacrtana u srazmeri, tačka [inlmath]O[/inlmath] (presek simetrale jedne stranice i simetrale njoj naspramnog ugla) ne bi nikad mogla biti unutar trougla, već isključivo izvan njega.

Što se tiče tačaka [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath], u realnosti će jedna od njih biti unutar odgovarajuće stranice, a druga će biti u produžetku (tj. izvan) njoj odgovarajuće stranice, tako da i neće postojati svi ovi trouglovi na koje su u iznetom „dokazu“ primenjivani kriterijumi podudarnosti. Eventualno, u graničnom slučaju kada imamo jednakokraki [inlmath]\left(AB=AC\right)[/inlmath] ili jednakostraničan trougao, tačke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] će biti na samim krajevima stranica, tj. poklopiće se sa temenima [inlmath]B[/inlmath], odnosno [inlmath]C[/inlmath], respektivno.

E sad, kako dokazati tvrdnju da [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] ne mogu istovremeno biti unutar svojih stranica? Pa, jedan dokaz upravo proizlazi iz ovog zadatka. Znači, pretpostavimo suprotno, tj. da imamo trougao sa svim različitim stranicama i da su [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] svaka unutar svoje stranice. (I onda primenimo ovaj Milovanov postupak...) Na kraju dođemo do zaključka da su [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath] jednake, što je kontradikcija u odnosu na prvobitnu pretpostavku. Prema tome, zaključujemo da [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] ne mogu istovremeno biti svaka unutar svoje stranice.
Na isti način se dokazuje i da [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] ne mogu istovremeno biti svaka u produžetku svoje stranice, iz čega sledi da jedna mora biti unutar svoje stranice, a druga u produžetku svoje stranice.

To je jedan dokaz. Ali, postoji li neki kraći, jednostavniji dokaz za istu tu tvrdnju? Takođe, iz gornjeg dokaza sledi i dokaz da tačka [inlmath]O[/inlmath] mora biti izvan trougla, ali može li se i to dokazati nekim „direktnijim“ načinom?

I, još jednom – odličan zadatak! :handgestures-thumbup:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta


Povratak na ZANIMLJIVI ZADACI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 17. Februar 2020, 08:43 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs