Evo jedne nove matematičke zavrzlame.
Dokazaćemo da su svi trouglovi jednakokraki.
Neka je dat trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], dokažimo da je [inlmath]AB=AC[/inlmath]. (slično možemo dokazati za svake dve stranice trougla, odakle sledi da su svi trouglovi ne samo jednakokraki, nego i jednakostranični ).
Neka je [inlmath]s[/inlmath] simetala ugla kod temena [inlmath]A[/inlmath]. Neka je [inlmath]D[/inlmath] središte stranice [inlmath]BC[/inlmath], a simetrala stranice [inlmath]BC[/inlmath] je [inlmath]s_1[/inlmath].
Ako se pravci [inlmath]s_1[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] poklapaju, onda je [inlmath]AB=AC[/inlmath].
U slučaju da to ne važi, označimo sa [inlmath]O[/inlmath] presečnu tačku. Normala iz te tačke na stranicu [inlmath]AB[/inlmath] je [inlmath]OM[/inlmath], a normala na [inlmath]AC[/inlmath] je [inlmath]ON[/inlmath].
Spojimo tačku [inlmath]O[/inlmath] sa temenima [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] dužima [inlmath]OB[/inlmath] i [inlmath]OC[/inlmath].
Iz USU sledi da su trouglovi [inlmath]\triangle AMO[/inlmath] i [inlmath]\triangle ANO[/inlmath] podudarni.
Iz SUS to važi i za [inlmath]\triangle ODB[/inlmath] i [inlmath]\triangle ODC[/inlmath].
iIz prve podudarnosti znamo da je [inlmath]MO=NO[/inlmath], iz druge da je [inlmath]BO=CO[/inlmath], a uglovi [inlmath]\angle OMB[/inlmath] i [inlmath]\angle ONC[/inlmath] su pravi.
[inlmath]\triangle BMO[/inlmath] i [inlmath]\triangle CNO[/inlmath] su dakle takođe podudarni.
Dakle, [inlmath]AM=AN[/inlmath], [inlmath]BM=CN[/inlmath].
A kako je [inlmath]AB=AM+BM=AN+NC=AC[/inlmath]
Šta ne valja?