Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica RAZNO ZANIMLJIVI ZADACI

Zadatak za vijetnamske osnovce

Zadatak za vijetnamske osnovce

Postod Daniel » Petak, 29. Maj 2015, 00:06

Verovatno ste čuli za zadatak o kojem je dosta pisano u vestima proteklih dana, koji su navodno dobili đaci 3. razreda jedne vijetnamske osnovne škole, a koji je dobro namučio čak i učitelje, pa i doktore matematike. Treba popuniti prazna polja ciframa od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath] (svaka mora biti upotrebljena jednom i sve moraju biti različite) tako da, idući sleva nadesno po ovoj cik-cak figuri, dobijete tačnu jednakost:

zadatak.png
zadatak.png (8.19 KiB) Pogledano 313 puta

Ukupan broj mogućnosti predstavlja broj načina na koje [inlmath]9[/inlmath] različitih cifara možemo rasporediti na [inlmath]9[/inlmath] različitih mesta, a to je, naravno, broj permutacija od [inlmath]9[/inlmath] elemenata bez ponavljanja, tj. [inlmath]9!=362\:880[/inlmath]. Pomalo preveliki broj da bi se pokušavalo nasumice. :)

Mogućih rešenja ima više. Komentatori na raznim internet sajtovima dali su neka od njih, ali ne navodeći postupak kojim su do njih došli (možda i pisanjem odgovarajućeg programa, što nije teško). Ali ja bih voleo da mi ovde pokušamo da pronađemo neku strategiju u rešavanju. Za početak, ja bih napisao svoje razmišljanje, a rado bih čuo i vaša.

Brojeve u nepoznatim poljima obeležimo redom sa [inlmath]a,b,c,d,e,f,g,h,i[/inlmath]. Tada jednačina glasi
[dispmath]a+\frac{13b}{c}+d+12e-f-11+\frac{gh}{i}-10=66[/dispmath]
ili, posle malo sređivanja,
[dispmath]a+d-f+12e+\frac{13bi+cgh}{ci}=87[/dispmath]
I već iz ovakvog oblika jednačine možemo malo „suziti obruč“ od onih početnih [inlmath]362\:880[/inlmath] načina raspoređivanja.
Naime, pošto su i [inlmath]a+d-f+12e[/inlmath] i [inlmath]87[/inlmath] celi brojevi, jasno je da i [inlmath]\frac{13bi+cgh}{ci}[/inlmath] mora biti ceo broj. Da bi taj broj bio ceo, potrebno je da brojilac, [inlmath]13bi+cgh[/inlmath], istovremeno bude deljiv i sa [inlmath]c[/inlmath] i sa [inlmath]i[/inlmath].

Odatle odmah vidimo da [inlmath]c[/inlmath] ne može biti [inlmath]7[/inlmath]. Kad bi bio [inlmath]7[/inlmath], tada bi brojilac bio [inlmath]13bi+7gh[/inlmath] i morao bi biti deljiv sa [inlmath]7[/inlmath], što znači da bi proizvod [inlmath]bi[/inlmath] morao biti deljiv sa [inlmath]7[/inlmath]. Ali, pošto ni [inlmath]b[/inlmath] ni [inlmath]i[/inlmath] ne mogu biti sedmice (sedmica je već iskorišćena za [inlmath]c[/inlmath]), ovaj slučaj je nemoguć. Naravno, na isti način zaključujemo da ni [inlmath]i[/inlmath] ne može biti [inlmath]7[/inlmath].

Zatim, ako je [inlmath]c=9[/inlmath], tada brojilac glasi [inlmath]13bi+9gh[/inlmath] i mora biti deljiv sa [inlmath]9[/inlmath], što znači da i proizvod [inlmath]bi[/inlmath] mora biti deljiv sa [inlmath]9[/inlmath]. To sad daje dva moguća podslučaja, [inlmath]\left(b,i\right)=\left(3,6\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(b,i\right)=\left(6,3\right)[/inlmath]. I onda uvrštavati te vrednosti i isprobavati svaki od tih slučaja...

Naravno, to je dosta posla, mada se neka eliminacija mogućnosti time ipak postiže.
Izvol'te sa svojim idejama za rešavanje. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Zadatak za vijetnamske osnovce

Postod desideri » Petak, 29. Maj 2015, 19:43

Ja bih iza "puta" stavljao male brojeve, to bi mi bila strategija.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Zadatak za vijetnamske osnovce

Postod desideri » Petak, 29. Maj 2015, 19:58

I da se doreknem: krenuo bih od [inlmath]66[/inlmath] unazad.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta


Povratak na ZANIMLJIVI ZADACI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 37 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 08:43 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs