Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica RAZNO ZANIMLJIVI ZADACI

Matematicki trik s pentagramom

Matematicki trik s pentagramom

Postod pentagram142857 » Ponedeljak, 19. Oktobar 2015, 20:05

Prvo nacrtamo pentagram, ovako:

pentagram 1.png
pentagram 1.png (5.76 KiB) Pogledano 1051 puta

U svaki kružić možemo da ubacimo jedan od ovih šest znakova: [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]x^2[/inlmath], [inlmath]x^3[/inlmath], [inlmath]x^4[/inlmath], [inlmath]x^5[/inlmath] i [inlmath]x^6[/inlmath]. Takodje, vazi pravilo: [inlmath]x^{7n}=+1\;(n\in\mathbb{N})\left(+1\cdot x^n=x^n\right)[/inlmath] . Kružići koji su povezani plavim linijama pripadaju manjem petouglu, a kruzići koji su povezani zelenim linijama pripadaju većem petouglu. Za ovaj trik je potrebno da budu zadovoljena 2 uslova:

1. Uslov: U kružićima manjeg petougla se znaci upisuju na sledeći način:

pentagram 2.png
pentagram 2.png (6.47 KiB) Pogledano 1051 puta

[inlmath]a,b,c,d,e[/inlmath]-neki od ovih [inlmath]6[/inlmath] znakova
2. Uslov: U kružićima većeg petougla se znaci upisuju po nekom od ovih [inlmath]6[/inlmath] nizova:
[inlmath]1.[/inlmath] niz: [inlmath]x^4,x^3,x^5,x,x^2[/inlmath]
[inlmath]2.[/inlmath] niz: [inlmath]x,x^6,x^3,x^2,x^4[/inlmath]
[inlmath]3.[/inlmath] niz: [inlmath]x^5,x^2,x,x^3,x^6[/inlmath]
[inlmath]4.[/inlmath] niz: [inlmath]x^2,x^5,x^6,x^4,x[/inlmath]
[inlmath]5.[/inlmath] niz: [inlmath]x^6,x,x^4,x^5,x^3[/inlmath]
[inlmath]6.[/inlmath] niz: [inlmath]x^3,x^4,x^2,x^6,x^5[/inlmath]

Evo jednog pentagrama koji zadovoljava ova dva uslova:

pentagram 3.png
pentagram 3.png (6.63 KiB) Pogledano 1051 puta

Evo u cemu je trik - svaki od ovih [inlmath]5[/inlmath] trouglova (koji ogradjuju manji petougao) je odredjen sa [inlmath]3[/inlmath] znaka, a medju svaka ta [inlmath]3[/inlmath] znaka se moze naci [inlmath]2[/inlmath] znaka ciji je proizvod jednak trecem. ( Da vas ne zbuni ovaj slucaj kod leve noge: [inlmath]x^4\cdot x^5=x^7\cdot x^2=x^2,\;x^7=+1[/inlmath])
Kod ovog slučaja sa gornje slike je korišćen prvi niz, cije je kretanje u smeru kretanja kazaljke na satu. Cak i da je smer bio suprotan od smera kazaljke na satu, trik bi opet vazio. Cak i kad niz ne bi poceo od glave (kao sto je to ovaj slucaj sa slike) trik bi opet vazio. Naravno, posle svake te promene rotacije ili pocetka niza uvek treba voditi racuna da kruzici donjeg pentagrama ostanu definisani po prvom uslovu. Svaki niz ima [inlmath]5[/inlmath] mogucih pocetaka, a svaki moguci pocetak ima [inlmath]2[/inlmath] moguce rotacije, tako da svaki niz ima mogucih [inlmath]10[/inlmath] slucaja. Imamo [inlmath]6[/inlmath] nizova, pa je to onda [inlmath]60[/inlmath] mogucih slucajeva (za koje vazi ovaj trik). Postoji jos zanimljivih tacnosti, ali cu vas pustiti da ih sami uocite.
Poslednji put menjao Daniel dana Četvrtak, 22. Oktobar 2015, 10:34, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latex-koda – tačka 13. Pravilnika
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 49 puta
Pohvaljen: 120 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Matematicki trik s pentagramom

Postod pentagram142857 » Sreda, 21. Oktobar 2015, 18:43

Komentarisite!
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 49 puta
Pohvaljen: 120 puta

Re: Matematicki trik s pentagramom

Postod desideri » Sreda, 21. Oktobar 2015, 18:57

Tvoja tema je interesantna i, po mišljenju nas iz moderatorskog tima, nije za Pseudomatematiku, već pre za Zanimljivu matematiku.
Ovim postom:
pentagram142857 je napisao:Komentarisite!

prekršio si Tačku 16. Pravilnika foruma Matemanija.
Zato temu zaključavam dok se ne premesti.
Potom će ti biti (ili neće biti) odgovoreno.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Matematicki trik s pentagramom

Postod Daniel » Četvrtak, 22. Oktobar 2015, 10:49

OK, evo biće odgovoreno. Našao sam malo vremena da proučim ovaj problem.

Pored tačke 16, na koju ti je Desideri skrenuo pažnju, nisi se pridržavao ni tačke 13. Pravilnika – korišćenje Latexa, zbog čega je tvoj post bio vrlo nerazumljivo napisan i trebalo mi je vremena da provalim da tvoje oznake x2, x3, x4 ... znače, zapravo, [inlmath]x^2,x^3,x^4,\ldots[/inlmath]
Budući da si nov član, i da si postavio zanimljiv problem, istolerisaćemo ti ovaj prvi post. :) Uneo sam ispravke, tj. prebacio u Latex – proveri, molim te, da li sam sve dobro ispravio.

E a sad što se tiče zadatka.

Prvo, ne razumem zbog čega si uopšte koristio [inlmath]x,x^2,\ldots,x^6[/inlmath] i operaciju množenja? Zar ti nije bilo jednostavnije da umesto [inlmath]x,x^2,\ldots,x^6[/inlmath] napišeš [inlmath]1,2,\ldots,6[/inlmath] respektivno, a umesto množenja operaciju sabiranja? Došlo bi na isto, a ne bi morao da koristiš eksponente.

S obzirom na ovo pravilo s članom [inlmath]x^7=+1[/inlmath], možemo drugačije reći da se eksponenti sabiraju po modulu [inlmath]7[/inlmath], zar ne?

E sad, ako sam dobro razumeo dva postavljena uslova (da pokušam da ih prepričam svojim rečima): [inlmath]1.[/inlmath] uslov kaže da, ako se u nekom čvoru spoljašnjeg (većeg) petougla nalazi jedan znak, tada taj isti znak mora da se nalazi i u njemu naspramnom čvoru unutrašnjeg (manjeg) petougla. Ti ovaj uslov nisi predstavio u obliku formulacije, već si dao primer u obliku slike, ali ja sam sad pokušao da to formulišem, nadam se da sam ispravno to uradio.

[inlmath]2.[/inlmath] uslov kaže da je u čvorovima većeg (a na osnovu prvog uslova, samim tim i manjeg) petougla, dozvoljen neki od tih šest nizova koje si naveo. U prvom nizu je izostavljen element [inlmath]x^6[/inlmath], u drugom nizu je izostavljen element [inlmath]x^5[/inlmath] ... u šestom nizu je izostavljen element [inlmath]x[/inlmath]. Znači, po jedan od tih šest elemenata je izostavljen u svakom od tih šest zadatih nizova. E sad, pošto su nizovi kružni, prvi niz [inlmath]x^4,x^3,x^5,x,x^2[/inlmath] mogao bi se posmatrati i kao [inlmath]x^2,x^4,x^3,x^5,x[/inlmath] i kao [inlmath]x,x^2,x^4,x^3,x^5[/inlmath] itd., ali se može posmatrati i u obrnutom smeru, npr. [inlmath]x^2,x,x^5,x^3,x^4[/inlmath], ili [inlmath]x,x^5,x^3,x^4,x^2[/inlmath] itd., jer se obrtanjem smera ništa ne menja, samo posmatrani pentagram postaje svoj lik u ogledalu, ali ovaj trik koji si naveo i dalje važi.

Manje-više si sve to i rekao, nego samo proveravam jesam li dobro razumeo. Ako nisam, molim te da me ispraviš gde treba. Pa nakon što sve to razjasnimo, nastavljamo dalje o samom ovom triku. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Matematicki trik s pentagramom

Postod pentagram142857 » Četvrtak, 22. Oktobar 2015, 12:53

Sve ste lepo razumeli :D, takodje je i svaki broj u kruzicu povezan sa jos [inlmath]4[/inlmath] razlicta broja.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 49 puta
Pohvaljen: 120 puta

Re: Matematicki trik s pentagramom

Postod Sinisa » Četvrtak, 22. Oktobar 2015, 15:07

pentagram142857 je napisao:Evo u cemu je trik - svaki od ovih [inlmath]5[/inlmath] trouglova (koji ogradjuju manji petougao) je odredjen sa [inlmath]3[/inlmath] znaka, a medju svaka ta [inlmath]3[/inlmath] znaka se moze naci [inlmath]2[/inlmath] znaka ciji je proizvod jednak trecem.

pogledaj trougao [inlmath]abd[/inlmath]
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Matematicki trik s pentagramom

Postod pentagram142857 » Četvrtak, 22. Oktobar 2015, 15:10

To je isti slucaj kao i leva noga, [inlmath]5+4=9=2,\;(7=0)[/inlmath].
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 49 puta
Pohvaljen: 120 puta

Re: Matematicki trik s pentagramom

Postod Daniel » Četvrtak, 29. Oktobar 2015, 19:17

Imao bih još i komentar na pravilo [inlmath]x^{7n}=+1\;\left(n\in\mathbb{N}\right)[/inlmath].
Ako bismo ovo posmatrali kao jednačinu po [inlmath]x[/inlmath], jedino realno rešenje te jednačine bi bilo [inlmath]x=1[/inlmath], što bi bilo pomalo besmisleno, jer bi tada bilo i [inlmath]x=x^2=x^2=\cdots=x^6=1[/inlmath], pa sâm zadatak ne bi imao previše smisla.
Iz toga bi se dalo zaključiti da je [inlmath]x[/inlmath] kompleksan broj, i da važi [inlmath]x=e^{\large i\frac{2k\pi}{7}},\;k\in\left\{1,2,3,4,5,6\right\}[/inlmath].
Mada i ne znam koliko je ovo bitno za sam zadatak, nego čisto uzgred napominjem.

Radi jednostavnijeg obeležavanja, ja bih umesto [inlmath]x,x^2,\ldots,x^6[/inlmath] pisao same vrednosti eksponenata, tj. [inlmath]1,2,\ldots,6[/inlmath], a umesto operacije množenja (što bi podrazumevalo sabiranje eksponenata po modulu [inlmath]7[/inlmath]), jednostavno bih – sabirao po modulu [inlmath]7[/inlmath]: :)

pentagram.png
pentagram.png (2.46 KiB) Pogledano 869 puta

Naravno da, kako si i sam naglasio, svaki od onih šest dopuštenih nizova iz [inlmath]2.[/inlmath] uslova ima svojih [inlmath]10[/inlmath] podvarijanti – jer, nakon što smo odabrali jedan od tih nizova, pentagram možemo zarotirati na neki od [inlmath]5[/inlmath] načina, a takođe ga možemo posmatrati bilo kao originalnu sliku, bilo kao lik u ogledalu (tj. na [inlmath]2[/inlmath] načina), što ukupno daje [inlmath]5\cdot2=10[/inlmath] podvarijanti. (Ili, kad se još uzmu u obzir svih [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti izostavljanja po jednog elementa iz šestočlanog skupa, dobilo bi se [inlmath]6\cdot10=60[/inlmath] mogućnosti za koje trik važi, kao što si ti i napisao.)

E sad, ja kažem ovako: U svakom od tih šest dozvoljenih nizova izostavljen je jedan od elemenata [inlmath]\left\{1,2,3,4,5,6\right\}[/inlmath]. Ako svih [inlmath]10[/inlmath] podvarijanti jednog niza posmatramo kao jedan isti način raspoređivanja [inlmath]5[/inlmath] raspoloživih elemenata (jer je jedan element skupa [inlmath]\left\{1,2,3,4,5,6\right\}[/inlmath] izostavljen), koliko bi ukupno postojalo takvih mogućnosti raspoređivanja za taj jedan niz? Sad malo kombinatorike – ukupan broj permutacija, [inlmath]P_5[/inlmath], podelimo brojem podvarijanti tog niza, tj. [inlmath]10[/inlmath], prema tome, postojalo bi [inlmath]\frac{P_5}{10}=\frac{120}{10}=12[/inlmath] mogućnosti (slično kao, recimo, u ovom zadatku, samo što ovde još to delimo sa [inlmath]2[/inlmath], zbog likova u ogledalu). Od svih [inlmath]12[/inlmath] mogućnosti, nama je dopušteno da izaberemo samo jednu kako bi ovaj trik važio. Budući da bi inače bila prilično mala verovatnoća da se među čak [inlmath]12[/inlmath] različitih mogućnosti raspoređivanja elemenata ne nađe bar jedna mogućnost u kojoj bismo imali ovu pravilnost sa sabiranjem po modulu [inlmath]7[/inlmath], ne mogu baš reći da sam nešto posebno fasciniran. :) Ali, moguće i da nisam shvatio celu ovu ideju na pravi način.

pentagram142857 je napisao:Postoji jos zanimljivih tacnosti, ali cu vas pustiti da ih sami uocite.

Hm, možda to što je svaki element u pentagramu povezan sa četiri elementa koji su međusobno različiti i koji su različiti od tog elementa, a svih pet elemenata zajedno čine ceo skup elemenata od kojih je taj pentagram sačinjen?
Drugu neku pravilnost ne uočavam.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Matematicki trik s pentagramom

Postod pentagram142857 » Četvrtak, 29. Oktobar 2015, 23:56

Uocio si sve sto je trebalo. Za bolje razumevanje ovog trika mogu da dodam jos 2 stvari: zasto sam bas uveo moduo [inlmath]7[/inlmath], i odakle mi nizovi. Prvo sam razmisljao kako da resim problem imaginarnog broja. Shvatio sam da cak iako resim taj problem nekim cudom, opet necu moci da resim problem njegovih kvadratnih korena. Onda sam dosao na ideju da uvedem 3 znaka: [inlmath]a,b,c[/inlmath] za koje vazi: [inlmath]a^2=b,\;b^2=c,\;c^2=a[/inlmath]
Kada proizvod ta tri znaka ([inlmath]abc[/inlmath]) pomnozimo sa nekim od znakova [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] ili [inlmath]c[/inlmath], dobijamo isti znak sa kojim smo mnozili. Resavanjem sistema dobijamo da je proizvod [inlmath]abc[/inlmath] isto sto i [inlmath]a^7[/inlmath], (odatle sam dobio moduo [inlmath]7[/inlmath]).
Nizovi su malo duza prica. Ukratko, prvi niz ([inlmath]4,3,5,1,2[/inlmath]) se dobija ovako: mnozenjem broja [inlmath]1[/inlmath] sa [inlmath]5[/inlmath] je isto kao i da smo broju [inlmath]1[/inlmath] dodali [inlmath]4[/inlmath] ([inlmath]4[/inlmath] - prvi clan prvog niza), mnozenjem broja [inlmath]1[/inlmath] dvaput sa brojem [inlmath]5[/inlmath] ([inlmath]25=4=3+1[/inlmath], radim po modulu [inlmath]7[/inlmath]) je isto kao da smo broju [inlmath]1[/inlmath] dodali [inlmath]3[/inlmath] ([inlmath]3[/inlmath] - drugi clan prvog niza), mnozenjem broja [inlmath]1[/inlmath] triput sa brojem [inlmath]5[/inlmath] ([inlmath]125=6=5+1[/inlmath]) je kao da smo broju [inlmath]1[/inlmath] dodali [inlmath]5[/inlmath] ([inlmath]5[/inlmath] - treci clan p.n.) itd... Ako mnozite sa [inlmath]3[/inlmath] umesto sa [inlmath]5[/inlmath], dobijate prvi niz, ali unazad. Drugi niz se dobija kad se svi clanovi prvog niza pomnoze sa [inlmath]2[/inlmath], treci niz sa [inlmath]3[/inlmath], cetvtri sa [inlmath]4[/inlmath]... Meni je bilo fascinanto posto sam te nizove sasvim slucajno poredjao na taj nacin, ali dobro, istina je da ovaj trik nema nikakvu primenu u matematici.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 49 puta
Pohvaljen: 120 puta

Re: Matematicki trik s pentagramom

Postod Daniel » Petak, 30. Oktobar 2015, 07:32

Nije neophodno da nešto ima očiglednu primenu u matematici, da bi ipak bilo interesantno za razmišljanje. :)

Ovo mi se posebno svidelo,
pentagram142857 je napisao:Nizovi su malo duza prica. Ukratko, prvi niz ([inlmath]4,3,5,1,2[/inlmath]) se dobija ovako: mnozenjem broja [inlmath]1[/inlmath] sa [inlmath]5[/inlmath] je isto kao i da smo broju [inlmath]1[/inlmath] dodali [inlmath]4[/inlmath] ([inlmath]4[/inlmath] - prvi clan prvog niza), mnozenjem broja [inlmath]1[/inlmath] dvaput sa brojem [inlmath]5[/inlmath] ([inlmath]25=4=3+1[/inlmath], radim po modulu [inlmath]7[/inlmath]) je isto kao da smo broju [inlmath]1[/inlmath] dodali [inlmath]3[/inlmath] ([inlmath]3[/inlmath] - drugi clan prvog niza)...

Pa što ne reče to na početku? :) Ovo bitno menja stvari, jer pokazuje da si imao strategiju pri određivanju onih šest nizova, a ne onako kako sam ja mislio...

Kako si došao na ideju za ovaj algoritam? I jesi li ovo radio svesno s ciljem da dobiješ tu pravilnost u pentagramu, ili je slučajno tako ispalo? Ako si radio svesno, šta onda drugo da kažem nego – genijalno! :thumbup: Bilo bi sad zanimljivo pokazati (i dokazati) i vezu između pravila po kojem si formirao nizove, i pravilnosti koja postoji među brojevima u pentagramu...
Eto zadatka za vežbanje vijuga. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sledeća

Povratak na ZANIMLJIVI ZADACI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 11:06 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs