Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica RAZNO ZANIMLJIVI ZADACI

Površina figure

Površina figure

Postod ubavic » Subota, 05. Novembar 2016, 23:27

Evo jednog zanimljivog zadatka (meni se veoma svideo). Nije težak, i može se uraditi na više načina.
Potrebno je izračunati površinu crvene figure. Granice te figure su četvrtine kružnica sa radijusima [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]12[/inlmath].
Ako se ne varam, zadatak je za osnovce u Singapuru. Ako bude interesovanja postaviću još par sličnih zadataka (a pozivam i druge da to urade).

singapur.png
singapur.png (8.42 KiB) Pogledano 419 puta
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 509
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 335 puta
Pohvaljen: 488 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Površina figure

Postod Daniel » Ponedeljak, 07. Novembar 2016, 00:49

Vrlo zanimljiva tema, :thumbup: i voleo bih da se i ostali uključe. Ja bih ovu figuru podelio na dve, na sledeći način:

figura.png
figura.png (817 Bajta) Pogledano 394 puta

a dalje mislim da je lako – računamo zasebno površinu svake od te dve „potfigure“, pa ih na kraju saberemo. Eto, ako hoće neko da pokuša...
Dobio sam rešenje [inlmath]P=2a^2(\pi-2)[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] dužina stranice kvadratne ćelije (u ovom slučaju [inlmath]a=4[/inlmath]).
(Pokušao sam, onako iz radoznalosti, i preko analitičke u kombinaciji s integralima, al' kad sam video u šta će se to izroditi, odustao sam... Msm da nije vredno truda... :mrgreen: )



Evo jedan sličan i od mene – prepisah ga direktno iz svoje davne sveske za 2. razred u Matematičkoj, kod legendarnog profesora Žike Joksimovića:

krug i figura.png
krug i figura.png (1.37 KiB) Pogledano 394 puta

Odrediti površinu obeležene oblasti, ako se zna da je površina celog kruga jednaka [inlmath]P[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7321
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3804 puta
Pohvaljen: 3957 puta

  • +1

Re: Površina figure

Postod ubavic » Ponedeljak, 07. Novembar 2016, 16:49

Zanimljivo rešenje.
Mislim da se može još pojednostavti postupak ako se primeti da se duži luk gornje figure uklapa u kraći luk donje figure, pa ako gornju figuru okrenemo za [inlmath]180^\circ[/inlmath] i spojimo je sa donjom figurom, dobićemo presek dva kružna odsečka.
Ja sam površinu našao malo ružnijim postupkom. Od najveće četvrtine kruga sam oduzimao manje četvrtine... Može i tako...

Neverovatno, ali ja sam baš hteo da postavim ovu figuru (plavo obojena površina):

figura.png
figura.png (8.54 KiB) Pogledano 377 puta


Evo i malo težeg zadatka:

figura1.png
figura1.png (14.45 KiB) Pogledano 377 puta
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 509
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 335 puta
Pohvaljen: 488 puta

Re: Površina figure

Postod ffilipovicc98 » Utorak, 08. Novembar 2016, 00:28

Zanimljiv zadatak i na prvi pogled dejule lakši nego što zaista jeste. Može da se reši na više načina, ja ću pokušati da pokažem onaj koji mi se čini najelegantniji do kog sam ja uspeo da dodjem, a smatram da je to "pojednostavljen" način koji je ukratko opisao @ubavic.

ubavic je napisao:Mislim da se može još pojednostavti postupak ako se primeti da se duži luk gornje figure uklapa u kraći luk donje figure, pa ako gornju figuru okrenemo za [inlmath]180^\circ[/inlmath] i spojimo je sa donjom figurom, dobićemo presek dva kružna odsečka.

figura 1.png
figura 1.png (7.32 KiB) Pogledano 352 puta

Ako sivi deo figure zarotiramo na način kako je to @ubavic opisao, primećujemo da lako možemo izračunati površinu zeleno uokvirene figure, neka to bude [inlmath]\color{green}P_1[/inlmath]. Neka ljubičasto uokvireni deo bude [inlmath]\color{#582DF9}P_2[/inlmath], a [inlmath]\color{#FF523E}P_f[/inlmath] površina figure koja se traži u zadatku. Takodje koristimo [inlmath]a[/inlmath], kao što je @Daniel predložio. Imamo:
[dispmath]{\color{#FF523E}P_f}=\underbrace{\frac{(3a)^2\pi}{4}-\frac{(3a)^2}{2}}_{\color{green}P_1}-\underbrace{\bigg(\frac{a^2\pi}{4}-\frac{a^2}{2}\bigg)}_{\color{#582DF9}P_2}=\\
=\frac{(3a)^2}{2}\bigg(\frac{\pi}{2}-1\bigg)-\frac{a^2}{2}\bigg(\frac{\pi}{2}-1\bigg)=\\
=\bigg(\frac{(3a)^2-a^2}{2}\bigg)\bigg(\frac{\pi}{2}-1\bigg)=\\
=4a^2\bigg(\frac{\pi-2}{2}\bigg)=\\
=\enclose{box}{2a^2\bigg(\pi-2\bigg)}=\\
=2\cdot4^2\bigg(\pi-2\bigg)=\\
={\color{#FF523E}32\pi-64}[/dispmath]
Poz :D
 
Postovi: 26
Zahvalio se: 40 puta
Pohvaljen: 12 puta

Re: Površina figure

Postod Daniel » Sreda, 09. Novembar 2016, 15:57

ubavic je napisao:Mislim da se može još pojednostavti postupak ako se primeti da se duži luk gornje figure uklapa u kraći luk donje figure, pa ako gornju figuru okrenemo za [inlmath]180^\circ[/inlmath] i spojimo je sa donjom figurom, dobićemo presek dva kružna odsečka.

Da, odlično si se toga setio. :thumbup: Meni to promaklo.

ubavic je napisao:Ja sam površinu našao malo ružnijim postupkom. Od najveće četvrtine kruga sam oduzimao manje četvrtine... Može i tako...

Tako sam i ja prvobitno bio pokušavao, ali sam svaki put dobijao da bar jedno polje sadrži delove dva kruga, zbog čega to oduzimanje krugova nije jednostavno izvesti a da se ne izvrši deljenje nekog polja po dijagonali. Ako si uspeo da uradiš bez tog dijagonalnog presecanja polja, možda bi bilo zanimljivo videti i tvoje rešenje, bez obzira na to što je „ružnije“? :)

ubavic je napisao:Evo i malo težeg zadatka:

Nije rečeno šta je poznato, ali ću pretpostaviti da je poznat poluprečnik [inlmath]R[/inlmath] svake od kružnica (u slučaju da nije poznato [inlmath]R[/inlmath] nego stranica [inlmath]a[/inlmath] ili stranica [inlmath]b[/inlmath] pravougaonika, lako se uvrsti u rešenje, [inlmath]a=2b=4R[/inlmath]).

Pomeranjem segmenta koji se nalazi „jugoistočno“ od leve kružnice na „severozapad“ desne kružnice dobija se da je tražena površina:

figura 1.png
figura 1.png (1.51 KiB) Pogledano 328 puta

i ona je jednaka razlici površine kvadrata i površine kruga, umanjenoj još za površinu označenu sa [inlmath]P_1[/inlmath]. Zadatak se dalje svodi na izračunavanje površine [inlmath]P_1[/inlmath].

figura 2.png
figura 2.png (1.31 KiB) Pogledano 328 puta

Sa slike vidimo da površinu [inlmath]P_1[/inlmath] dobijemo kada od kvadrata stranice [inlmath]R[/inlmath] oduzmemo površinu crvenog trougla, površinu zelenog trougla i površinu plavog kružnog isečka:
[dispmath]P_1=P_{\,□}-{\color{red}P_\triangle}-{\color{green}P_\triangle}-{\color{#00C0C0}P_i}[/dispmath]
pri čemu je
[dispmath]P_{\,□}=R^2\\
{\color{red}P_\triangle}=\frac{1}{2}R(R-x)\\
{\color{green}P_\triangle}=\frac{1}{2}Ry\\
{\color{#00C0C0}P_i}=\frac{1}{2}R^2\theta,\qquad\sin\theta=\frac{x}{R}\quad\Longrightarrow\quad{\color{#00C0C0}P_i}=\frac{1}{2}R^2\arcsin\frac{x}{R}[/dispmath]
gde su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] koordinate preseka linije i kružnice. Odatle je
[dispmath]P_1=R^2-\frac{1}{2}R(R-x)-\frac{1}{2}Ry-\frac{1}{2}R^2\arcsin\frac{x}{R}\tag1[/dispmath]
[inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] možemo odrediti pomoću analitičke geometrije, pri čemju rešimo sistem jednačina linije i kružnice.
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\displaystyle y=\frac{x}{2}+\frac{R}{2}\\
\displaystyle x^2+y^2=R^2
\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad x^2+\left(\frac{x}{2}+\frac{R}{2}\right)^2=R^2[/dispmath]
Nakon rešavanja ove jednačine i odbacivanja negativnog rešenja, dobijamo [inlmath]x=\frac{3}{5}R[/inlmath], a odatle i [inlmath]y=\frac{4}{5}R[/inlmath]. Uvrštavanjem u [inlmath](1)[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]P_1=R^2-\frac{1}{2}R\left(R-\frac{3}{5}R\right)-\frac{1}{2}R\cdot\frac{4}{5}R-\frac{1}{2}R^2\arcsin\frac{\frac{3}{5}\cancel R}{\cancel R}\\
\vdots\\
P_1=\frac{2}{5}R^2-\frac{1}{2}R^2\arcsin\frac{3}{5}[/dispmath]
I onda je tražena površina jednaka
[dispmath]P=4R^2-\pi R^2-P_1\\
P=4R^2-\pi R^2-\frac{2}{5}R^2+\frac{1}{2}R^2\arcsin\frac{3}{5}\\
\enclose{box}{P=R^2\left(\frac{18}{5}-\pi+\frac{1}{2}\arcsin\frac{3}{5}\right)}[/dispmath]


Drugi način.
Površinu [inlmath]P_1[/inlmath] moguće je odrediti i preko integrala:
[dispmath]P_1=\int\limits_0^{\frac{3}{5}R}\left(R-\sqrt{R^2-x^2}\right)\mathrm dx+\int\limits_{\frac{3}{5}R}^R\left(R-\frac{x}{2}-\frac{R}{2}\right)\mathrm dx\\
P_1=R\int\limits_0^{\frac{3}{5}R}\mathrm dx-\int\limits_0^{\frac{3}{5}R}\sqrt{R^2-x^2}\mathrm dx+\frac{R}{2}\int\limits_{\frac{3}{5}R}^R\mathrm dx-\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{3}{5}R}^Rx\,\mathrm dx[/dispmath]
Integral [inlmath]\int\sqrt{R^2-x^2}\mathrm dx[/inlmath] se rešava smenom [inlmath]x=R\sin t[/inlmath], čime se dobija [inlmath]\frac{R^2}{2}\arcsin\frac{x}{R}+\frac{x}{2}\sqrt{R^2-x^2}[/inlmath], uvrštavanjem granica se dobija [inlmath]\frac{R^2}{2}\arcsin\frac{3}{5}+\frac{6}{25}R^2[/inlmath] a zatim, uvrštavanjem u prethodni izraz,
[dispmath]P_1=\frac{3}{5}R^2-\frac{R^2}{2}\arcsin\frac{3}{5}-\frac{6}{25}R^2+\frac{1}{5}R^2-\frac{4}{25}R^2\\
P_1=\frac{2}{5}R^2-\frac{R^2}{2}\arcsin\frac{3}{5}[/dispmath]
što je identično rezultatu dobijenom na prvi način. Naravno, sad opet primeniti formulu [inlmath]P=4R^2-\pi R^2-P_1[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7321
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3804 puta
Pohvaljen: 3957 puta

  • +1

Re: Površina figure

Postod ubavic » Sreda, 09. Novembar 2016, 20:38

Daniel je napisao:Ako si uspeo da uradiš bez tog dijagonalnog presecanja polja, možda bi bilo zanimljivo videti i tvoje rešenje, bez obzira na to što je „ružnije“? :)

Sure. Hteo sam da dam malo vremena pre nego što objavim rešenje...
Ako nije problem iskoristiću tvoju sličicu. Ne da mi se da crtam na trackpadu.

Površinu sledeće figure dobijamo oduzimanjem četvrtine površine kruga radijusa [inlmath]8[/inlmath], i jednog kvadrata od četvrtine površine kruga radijusa [inlmath]12[/inlmath].
1.png
1.png (592 Bajta) Pogledano 319 puta


Sada na tu površinu dodamo razliku površine kvadrata i četvrtine najmanjeg kruga.
2.png
2.png (676 Bajta) Pogledano 319 puta


A zatim od toga oduzmemo razliku površine kvadrata stranice [inlmath]8[/inlmath] i četvrtine kruga radijusa [inlmath]8[/inlmath]
3.png
3.png (784 Bajta) Pogledano 319 puta


Daniel je napisao:Nije rečeno šta je poznato, ali ću pretpostaviti da je poznat poluprečnik [inlmath]R[/inlmath] svake od kružnica (u slučaju da nije poznato [inlmath]R[/inlmath] nego stranica [inlmath]a[/inlmath] ili stranica [inlmath]b[/inlmath] pravougaonika, lako se uvrsti u rešenje, [inlmath]a=2b=4R[/inlmath]).

Opsss. Sorry. Da date su stranice kvadrata ([inlmath]1[/inlmath])
Super si ovo ispisao :D
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 509
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 335 puta
Pohvaljen: 488 puta

Re: Površina figure

Postod Daniel » Četvrtak, 10. Novembar 2016, 15:15

Super dosetka. :thumbup:

Evo sledeći (svrstao bih ga u lakše):

figura.png
figura.png (1.67 KiB) Pogledano 300 puta

Poznata je površina celog kruga [inlmath]P[/inlmath], a traži se površina zeleno obojene oblasti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7321
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3804 puta
Pohvaljen: 3957 puta


Povratak na ZANIMLJIVI ZADACI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 13. Novembar 2018, 01:08 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs