ubavic je napisao:Mislim da se može još pojednostavti postupak ako se primeti da se duži luk gornje figure uklapa u kraći luk donje figure, pa ako gornju figuru okrenemo za [inlmath]180^\circ[/inlmath] i spojimo je sa donjom figurom, dobićemo presek dva kružna odsečka.
Da, odlično si se toga setio.
Meni to promaklo.
ubavic je napisao:Ja sam površinu našao malo ružnijim postupkom. Od najveće četvrtine kruga sam oduzimao manje četvrtine... Može i tako...
Tako sam i ja prvobitno bio pokušavao, ali sam svaki put dobijao da bar jedno polje sadrži delove dva kruga, zbog čega to oduzimanje krugova nije jednostavno izvesti a da se ne izvrši deljenje nekog polja po dijagonali. Ako si uspeo da uradiš bez tog dijagonalnog presecanja polja, možda bi bilo zanimljivo videti i tvoje rešenje, bez obzira na to što je „ružnije“?
ubavic je napisao:Evo i malo težeg zadatka:
Nije rečeno šta je poznato, ali ću pretpostaviti da je poznat poluprečnik [inlmath]R[/inlmath] svake od kružnica (u slučaju da nije poznato [inlmath]R[/inlmath] nego stranica [inlmath]a[/inlmath] ili stranica [inlmath]b[/inlmath] pravougaonika, lako se uvrsti u rešenje, [inlmath]a=2b=4R[/inlmath]).
Pomeranjem segmenta koji se nalazi „jugoistočno“ od leve kružnice na „severozapad“ desne kružnice dobija se da je tražena površina:
- figura 1.png (1.51 KiB) Pogledano 2546 puta
i ona je jednaka razlici površine kvadrata i površine kruga, umanjenoj još za površinu označenu sa [inlmath]P_1[/inlmath]. Zadatak se dalje svodi na izračunavanje površine [inlmath]P_1[/inlmath].
- figura 2.png (1.31 KiB) Pogledano 2546 puta
Sa slike vidimo da površinu [inlmath]P_1[/inlmath] dobijemo kada od kvadrata stranice [inlmath]R[/inlmath] oduzmemo površinu crvenog trougla, površinu zelenog trougla i površinu plavog kružnog isečka:
[dispmath]P_1=P_{\,□}-{\color{red}P_\triangle}-{\color{green}P_\triangle}-{\color{#00C0C0}P_i}[/dispmath]
pri čemu je
[dispmath]P_{\,□}=R^2\\
{\color{red}P_\triangle}=\frac{1}{2}R(R-x)\\
{\color{green}P_\triangle}=\frac{1}{2}Ry\\
{\color{#00C0C0}P_i}=\frac{1}{2}R^2\theta,\qquad\sin\theta=\frac{x}{R}\quad\Longrightarrow\quad{\color{#00C0C0}P_i}=\frac{1}{2}R^2\arcsin\frac{x}{R}[/dispmath]
gde su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] koordinate preseka linije i kružnice. Odatle je
[dispmath]P_1=R^2-\frac{1}{2}R(R-x)-\frac{1}{2}Ry-\frac{1}{2}R^2\arcsin\frac{x}{R}\tag1[/dispmath]
[inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] možemo odrediti pomoću analitičke geometrije, pri čemju rešimo sistem jednačina linije i kružnice.
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\displaystyle y=\frac{x}{2}+\frac{R}{2}\\
\displaystyle x^2+y^2=R^2
\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad x^2+\left(\frac{x}{2}+\frac{R}{2}\right)^2=R^2[/dispmath]
Nakon rešavanja ove jednačine i odbacivanja negativnog rešenja, dobijamo [inlmath]x=\frac{3}{5}R[/inlmath], a odatle i [inlmath]y=\frac{4}{5}R[/inlmath]. Uvrštavanjem u [inlmath](1)[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]P_1=R^2-\frac{1}{2}R\left(R-\frac{3}{5}R\right)-\frac{1}{2}R\cdot\frac{4}{5}R-\frac{1}{2}R^2\arcsin\frac{\frac{3}{5}\cancel R}{\cancel R}\\
\vdots\\
P_1=\frac{2}{5}R^2-\frac{1}{2}R^2\arcsin\frac{3}{5}[/dispmath]
I onda je tražena površina jednaka
[dispmath]P=4R^2-\pi R^2-P_1\\
P=4R^2-\pi R^2-\frac{2}{5}R^2+\frac{1}{2}R^2\arcsin\frac{3}{5}\\
\enclose{box}{P=R^2\left(\frac{18}{5}-\pi+\frac{1}{2}\arcsin\frac{3}{5}\right)}[/dispmath]
Drugi način.Površinu [inlmath]P_1[/inlmath] moguće je odrediti i preko integrala:
[dispmath]P_1=\int\limits_0^{\frac{3}{5}R}\left(R-\sqrt{R^2-x^2}\right)\mathrm dx+\int\limits_{\frac{3}{5}R}^R\left(R-\frac{x}{2}-\frac{R}{2}\right)\mathrm dx\\
P_1=R\int\limits_0^{\frac{3}{5}R}\mathrm dx-\int\limits_0^{\frac{3}{5}R}\sqrt{R^2-x^2}\mathrm dx+\frac{R}{2}\int\limits_{\frac{3}{5}R}^R\mathrm dx-\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{3}{5}R}^Rx\,\mathrm dx[/dispmath]
Integral [inlmath]\int\sqrt{R^2-x^2}\mathrm dx[/inlmath] se rešava smenom [inlmath]x=R\sin t[/inlmath], čime se dobija [inlmath]\frac{R^2}{2}\arcsin\frac{x}{R}+\frac{x}{2}\sqrt{R^2-x^2}[/inlmath], uvrštavanjem granica se dobija [inlmath]\frac{R^2}{2}\arcsin\frac{3}{5}+\frac{6}{25}R^2[/inlmath] a zatim, uvrštavanjem u prethodni izraz,
[dispmath]P_1=\frac{3}{5}R^2-\frac{R^2}{2}\arcsin\frac{3}{5}-\frac{6}{25}R^2+\frac{1}{5}R^2-\frac{4}{25}R^2\\
P_1=\frac{2}{5}R^2-\frac{R^2}{2}\arcsin\frac{3}{5}[/dispmath]
što je identično rezultatu dobijenom na prvi način. Naravno, sad opet primeniti formulu [inlmath]P=4R^2-\pi R^2-P_1[/inlmath]...