Nepoznata funkcija

PostPoslato: Subota, 05. Maj 2018, 13:46
od Subject
Nisam siguran da li je ovo pravo mesto gde treba da postavim zadatak, ali me samo interesuje da li je moguce resiti sledece:

Naci funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath] tako da [dispmath]\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}\arctan\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}=const.[/dispmath]
a da sama funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] nije bas ta funkcija [inlmath]\arctan\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}+c[/inlmath].

Gde je [inlmath]c[/inlmath]-konstanta.

Generalizovano:

Naci funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath] tako da [dispmath]\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}g(x)=const.[/dispmath] gde je [inlmath]g(x)[/inlmath] poznata funkcija i naravno [inlmath]f(x)\cancel{=}g(x)+c[/inlmath].

Da li ovo ima nekakve veze sa diferencijalnim jednacinama, ili Rolovom ili Langrazovom teoremom o diferencijalnom racunu?

Re: Nepoznata funkcija

PostPoslato: Subota, 05. Maj 2018, 16:54
od ubavic
Ti si verovatno hteo da posmatraš slučaj kada je [inlmath]f'(x)-g'(x)=0[/inlmath] (inače, ako konstanta sa desne strane nije [inlmath]0[/inlmath] već neko [inlmath]c_1[/inlmath], odnos traženih funkcija je oblika [inlmath]f(x) = g(x) + c_1 x+ c_2[/inlmath]).

Ovo je čista primena Lagranžove teoreme. Koristeći Lagranžovu teoremu, probaj da dokažeš sledeće tvrđenje:
Neka je [inlmath]f[/inlmath] realna funkcija realne promenljive, neprekidna na segmentu [inlmath][a,b][/inlmath] i diferencijabilna na intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath]. Ako je [inlmath]f'(x)=0[/inlmath] za svako [inlmath]x[/inlmath] iz [inlmath](a,b)[/inlmath], tada je [inlmath]f[/inlmath] konstantna funkcija na [inlmath][a,b][/inlmath].

Da bih te malo zbunio, dajem ti zadatak da nađeš dve diferencijabilne funkcije koje su definisane na istom domenu [inlmath]D[/inlmath] i na [inlmath]D[/inlmath] imaju isti izvod, ali njihova razlika nije konstantna funkcija na [inlmath]D[/inlmath].