Svojevremeno sam započeo seriju tema kroz koje sam kroz zanimljive primere želeo da ilustrujem pojedine finese iz raznih oblasti matematike. Napokon se vraćam toj ideji, i postavljam novi zanimljiv zadatak.
Integral [inlmath]I=\int\frac{1}{x}\mathrm dx[/inlmath] svakako poznajete kao tablični. Tablični integral bi u ovom slučaju bio [inlmath]\int\frac{1}{x}\mathrm dx=\ln|x|+C[/inlmath]
Međutim, šta se desi ako u ovom slučaju primenimo parcijalnu integraciju, stavljajući da je [inlmath]u=\frac{1}{x}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dv=\mathrm dx[/inlmath]
Otuda je [inlmath]\mathrm du=-\frac{1}{x^2}\mathrm dx[/inlmath], i [inlmath]v=x[/inlmath]
Iz formule
[dispmath]\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du[/dispmath]
Dobija se:
[dispmath]I=\int\frac{1}{x}\mathrm dx=\frac{1}{x}\cdot x-\int-\frac{1}{x}\mathrm dx[/dispmath][dispmath]I=\int\frac{1}{x}\mathrm dx=1+\int\frac{1}{x}\mathrm dx[/dispmath][dispmath]I=1+I[/dispmath][dispmath]0=1[/dispmath]
Kako biste ovo objasnili?