Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica RAZNO ZANIMLJIVI ZADACI

"Dokaz" da su svi neparni brojevi uzajamno jednaki

  • +1

"Dokaz" da su svi neparni brojevi uzajamno jednaki

Postod Milovan » Ponedeljak, 12. Avgust 2013, 08:20

Iako prethodni zadatak sa parcijalnom integracijom još nismo rešili, postaviću sledeću u seriji ovih malih zavrzlama.
Ovom prilikom ću "pokazati" da su svi neparni brojevi uzajamno jednaki. :D

Skoro smo na forumu pominjali Ojelorovu formulu koja kaže da je [inlmath]e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)[/inlmath]
Za neparno [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]x=m\pi[/inlmath] dobijamo
[dispmath]e^{im\pi}=\cos{m\pi}+i\sin{m\pi}=-1+0=-1[/dispmath]
Za neparno [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]x=n\pi[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]e^{ni\pi}=\cos{n\pi}+i\sin{n\pi}=-1+0=-1[/dispmath]
Samim tim:
[dispmath]e^{mi\pi}=e^{ni\pi}[/dispmath]
Izjednačimo vrednosti u eksponentu:
[dispmath]mi\pi=ni\pi[/dispmath]
[dispmath]m=n[/dispmath]
Dakle, dobijamo da su svi neparni brojevi uzajmno jednaki.

Šta ne valja? :D
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 698 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: "Dokaz" da su svi neparni brojevi uzajamno jednaki

Postod Daniel » Ponedeljak, 12. Avgust 2013, 18:12

Umesto odgovora, ja ću malo da uopštim slučaj time što ću, vrlo sličnim postupkom, „dokazati“ da su svi prirodni brojevi – i parni i neparni – međusobno jednaki. :D

Neka su [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] dva prirodna broja i [inlmath]m\ne n[/inlmath]. Tada važi[dispmath]e^{i2m\pi}=\cos 2m\pi+i\sin 2m\pi=1+0=1[/dispmath][dispmath]e^{i2n\pi}=\cos 2n\pi+i\sin 2n\pi=1+0=1[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad e^{i2m\pi}=e^{i2n\pi}[/dispmath]i, posle izjednačavanja vredosti u eksponentima,[dispmath]\cancel i\cancel2m\cancel\pi=\cancel i\cancel2n\cancel\pi[/dispmath][dispmath]m=n[/dispmath]
Q.E.D. :tongue:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

Re: "Dokaz" da su svi neparni brojevi uzajamno jednaki

Postod ubavic » Subota, 17. Avgust 2013, 20:21

Nisam siguran ali pretpostavljam da je greška u izjednačivanju vrednosti u eksponentima (zbog kompleksnog broja)?
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 541
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 350 puta
Pohvaljen: 530 puta

Re: "Dokaz" da su svi neparni brojevi uzajamno jednaki

Postod Daniel » Nedelja, 25. Avgust 2013, 14:04

Zapravo su [inlmath]e^{im\pi}[/inlmath], [inlmath]e^{in\pi}[/inlmath], [inlmath]e^{i2m\pi}[/inlmath], [inlmath]e^{i2n\pi}[/inlmath] – realni brojevi. :) Ali, stvar je u tome koji su to realni brojevi. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

  • +1

Re: "Dokaz" da su svi neparni brojevi uzajamno jednaki

Postod ubavic » Nedelja, 25. Avgust 2013, 16:39

To su jedan ili minus jedan. Dokaz je ustavari nepotrebno zakomplikovan (mada u tome je i čar :D).
"Lakša" verzija dokaza:
[dispmath]m\ne n\quad m,n\in\mathbb{N}[/dispmath]
[dispmath]1^m=1[/dispmath]
[dispmath]1^n=1[/dispmath]
[dispmath]1=1\quad\Rightarrow\quad m=n[/dispmath]
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 541
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 350 puta
Pohvaljen: 530 puta

Re: "Dokaz" da su svi neparni brojevi uzajamno jednaki

Postod Daniel » Nedelja, 25. Avgust 2013, 18:46

Šta je na kraju zaključak – pošto [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath] dignuto na bilo koji neparan stepen daje [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath], to znači da, iz podatka da smo dizanjem [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath] na neki neparan broj [inlmath]m[/inlmath] i dizanjem [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath] na drugi neparan broj [inlmath]n[/inlmath] dobili isti rezultat, tj. [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath], ne možemo zaključiti da su [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] jednaki.

Isti rezon važi i kada jedinicu dižemo na bilo koji ceo broj, pri čemu uvek kao rezultat dobijamo jedinicu – iz [inlmath]1^m=1^n[/inlmath] ne sledi da je [inlmath]m=n[/inlmath]. ;) (To bi bilo slično kao kada bismo rekli da iz [inlmath]0\cdot m=0\cdot n[/inlmath] sledi [inlmath]m=n[/inlmath] – ono čuveno skraćivanje nule :) )
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta


Povratak na ZANIMLJIVI ZADACI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 17. Februar 2020, 08:12 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs