od Onomatopeja » Sreda, 28. Oktobar 2015, 14:55
Procitah (mada sam vise preleteo okom) sta ste sve napisali, i samo cu prvo kratko reci da se slazem da vazi spomenuta jednakost iz naslova. Ali, pokusacu i da dam neki formalni pristup svemu tome.
Naime, prvo kada govorimo o ovakvim stvarima, mi moramo definisati sta za nas predstavlja decimalni zapis (jer ako vec govorimo o njemu, moramo ga nekako i definisati). U tu svrhu, bice nam potrebna funkcija ceo deo. Naime, za (realno) [inlmath]x>0[/inlmath] definisemo ceo deo broja [inlmath]x[/inlmath] kao [inlmath][x] = \min\{n \in \mathbb{N} \mid n \cdot 1 > x\} - 1[/inlmath]. Da ovaj skup nije prazan sledi na osnovu Arhimedovog svojstva, a takodje podrazumevamo da svaki neprazan podskup skupa [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] ima najmanji element. Naravno, definicija funkcije "ceo deo" se moze prosiriti i na negativnom delu realne ose, tj. uzimacemo za [inlmath]x \in \mathbb{R}[/inlmath] da je [inlmath][x] = \min\{n \in \mathbb{Z} \mid n \cdot 1 > x\} - 1[/inlmath]. Iz same definicije se moze pokazati da za svako [inlmath]x \in \mathbb{R}[/inlmath] vazi [inlmath][x] \le x < [x]+1[/inlmath].
Sada smo u stanju da definisemo prvu decimalu. Naime, prva decimala realnog broja [inlmath]x[/inlmath] je broj [inlmath]d_1 = [10x]-10[x][/inlmath]. Slicno, druga decimala realnog broja [inlmath]x[/inlmath] je broj [inlmath]d_2=[100x]-100[x]-10d_1[/inlmath]. I slicno za [inlmath]n[/inlmath]-tu decimalu. Tacnije, induktivno se definise [inlmath]n[/inlmath]-ta decimala realnog broja [inlmath]x[/inlmath] sa
[dispmath]d_n = [10^n x]-10^n[x]- 10^{n-1}d_1 - 10^{n-2}d_2 -\cdots - 10d_{n-1}= [10^n x]-10^n[x]- \sum_{k=1}^{n-1}d_k10^{n-k}.[/dispmath] Sada definisemo decimalni zapis realnog broja [inlmath]x[/inlmath]. Naime, oznaku [inlmath][x],d_1d_2d_3\ldots[/inlmath] nazivamo decimalni zapis realnog broja [inlmath]x[/inlmath].
Da navedemo i jos neke korisne osobine koje se mogu pokazati iz same definicije. Naime, ako su [inlmath]d_1,d_2,\ldots[/inlmath] decimale realnog broja [inlmath]x[/inlmath] tada se moze pokazati da je
1) za sve [inlmath]k \in \mathbb{N}[/inlmath] je [inlmath]d_k \in \{0,1,2,\ldots,9\}[/inlmath];
2) za svaki prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] vazi
[dispmath][x]+\sum_{k=1}^n \frac{d_k}{10^k} \le x < [x]+\sum_{k=1}^n \frac{d_k}{10^k} + \frac{1}{10^n} \tag{1}[/dispmath] 3) ako oznacimo [inlmath]\displaystyle x_n =[x]+\sum_{k=1}^n \frac{d_k}{10^k}[/inlmath], onda je (sledi iz [inlmath](1)[/inlmath]) [dispmath]x = \sup \{x_n \mid n \in \mathbb{N}\}. \tag{2}[/dispmath]
Dakle, mi smo ovde dali definiciju kojom svakom realnom broju dodeljujemo njegov decimalni zapis. Stavise, to preslikavanje je injektivno ([inlmath]1-1[/inlmath]), sto se moze videti iz osobine 3) koju smo upravo naveli. Naime, ako bi dva realna broja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] imala isti decimalni zapis, onda bi se skupovi [inlmath]\{x_n\}[/inlmath] i [inlmath]\{y_n\}[/inlmath] poklapali, pa bi prema [inlmath](2)[/inlmath] imali isti supremem, odnosno, vazilo bi [inlmath]x=y[/inlmath]. To nam daje spomenutu injektivnost pridruzivanja: realni broj [inlmath]\to[/inlmath] decimalni zapis.
Ali, sa druge strane mi sa [inlmath](2)[/inlmath] mozemo svakom decimalnom zapisu dodeliti realan broj. Medjutim, to dodeljivanje nije vise injektivno. Primer da je tako je upravo primer iz naslova, jer bi se onda decimalnim zapisima [inlmath]1,000\ldots[/inlmath] i [inlmath]0,999\ldots[/inlmath] dodelio isti realan broj [inlmath]1[/inlmath]. Zato vidimo da je skup decimalnih zapisa nesto siri, veci, od skupa realnih brojeva. Koliko je to veci skup se moze i efektivno videti, naime vazi sledece: ako decimalnim brojevima [inlmath]n,d_1d_2d_3\ldots[/inlmath] i [inlmath]m,c_1c_2c_3\ldots[/inlmath] odgovaraju isti realni brojevi (pridruzivanjem koje smo vec spomenuli) tada vazi jedna od sledece tri mogucnosti
1) [inlmath]m=n[/inlmath] i [inlmath]d_j=c_j[/inlmath] za sve [inlmath]j[/inlmath];
2) [inlmath]m=n[/inlmath] i [inlmath]d_j=c_j[/inlmath] za [inlmath]j=1,2,\ldots,k-1[/inlmath] i [inlmath]\color{red} d_k - 1=c_k[/inlmath] i [inlmath]d_j=0, c_j=9[/inlmath] za sve [inlmath]j>k[/inlmath];
3) [inlmath]n=m+1[/inlmath] i [inlmath]d_j=0, c_j=9[/inlmath] za sve [inlmath]j \in \mathbb{N}[/inlmath].
Nadam se da su posle ovoga neke stvari bar malo jasnije.