Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica RAZNO ZANIMLJIVI ZADACI

Jednakost 0.999...=1

  • +1

Re: Jednakost 0.999...=1

Postod Daniel » Nedelja, 05. Jul 2015, 14:43

@Trougao
Da, zaista nigde nisi napisao da osporavaš da je [inlmath]0,99999\ldots=1[/inlmath]. Sorry onda zbog zabune. :)

Ali sam smatrao (po mom mišljenju, sasvim opravdano), da je tvrdnja [inlmath]0,99999\ldots-1\ne0[/inlmath] ekvivalentna tvrdnji [inlmath]0,99999\ldots\ne1[/inlmath]. :) To jest,
[dispmath]0,99999\ldots-1\ne0[/dispmath]
Dodamo keca i levoj i desnoj strani (time se istinitost iskaza ne menja),
[dispmath]0,99999\ldots-\cancel1+\cancel1\ne0+1[/dispmath]
i dobijemo
[dispmath]0,99999\ldots\ne1[/dispmath]
Prema tome, te dve tvrdnje jesu ekvivalentne (i obe neistinite). :)

Trougao je napisao:[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0[/dispmath]
I sta bi iz definicije limesa za niz zakljucili? Pa da se za neko [inlmath]\epsilon[/inlmath] za [inlmath]n>n_0[/inlmath] beskonacno mnogo clanova niza nalazi u okolini nule, ali nijedan u samoj nuli. Ja to prilazenje vidim kao beskonacan proces koji je nemoguce zavrsiti, mi vidimo kuda on vodi pa pisemo [inlmath]0[/inlmath].

Upravo tako. :correct: Prema tome, vrednost limesa može biti vrednost koju nema nijedan član niza. Ali, limes ima preciznu vrednost, ne neku približnu vrednost. O tome govorimo.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Jednakost 0.999...=1

Postod Trougao » Nedelja, 05. Jul 2015, 15:20

Pa ja mislim da je [inlmath]0.9999\ldots=1[/inlmath] za sve prakticne svrhe i vecinu teorijskih. Ne znam zasto ali meni ce uz ne znam koliko mnogo ubedjivanja i price [inlmath]0.9999\ldots[/inlmath] biti razlicito od [inlmath]1[/inlmath] predpostavljam da je to vera u nesavrsenstvo broja [inlmath]0.9999\ldots[/inlmath] :pop:
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 107 puta

Re: Jednakost 0.999...=1

Postod desideri » Nedelja, 05. Jul 2015, 22:16

Evo i ovo mi pade na pamet:
[dispmath]1.000\ldots-0.999\ldots=?[/dispmath]
Moglo bi se reći da je rezultat, na primer, nula zarez nula pa nula pa nula... pa jedan. Ako se onako "potpiše" oduzimanje. Ali kako to zapisati? Tvrdim da je takav broj ili nezapisiv ili jednak nuli. Napisati da je rezultat [inlmath]0.000\ldots1[/inlmath] prvo mi deluje mnogo veštački, a drugo, mislim da nije u skladu ni s Dedekindovim aksiomom neprekidnosti.
I dalje mislim da je stvar samo u zapisu, ne u limesu, ali ću još razmisliti...
Napominjem da bi slično bilo i sa na primer:
[dispmath]1.000\ldots1-1.000\ldots=?[/dispmath]
U odnosu na keca imao bih i najmanji broj u skupu "desno" od keca i najveći broj u skupu "levo" od keca. I eto prekida u skupu realnih brojeva čime se tvrđenje da [inlmath]1[/inlmath] nije isto što i [inlmath]0.999\ldots[/inlmath] svodi ad absurdum (na apsurd, to jest kontradikciju).
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Jednakost 0.999...=1

Postod desideri » Nedelja, 05. Jul 2015, 22:45

Moram da nastavim, baš ste me zainteresovali :thumbup:
U prostoru sa dve dimenzije [inlmath]R^2[/inlmath] imao bih beskonačno mnogo tačaka tipa [inlmath]0.999\ldots[/inlmath] ako se zamisli polarni koordinatni sistem, sve jako bliske tački [inlmath](1,1)[/inlmath]. Preciznije, mislim na ultra malu ili, da kažem, [inlmath]\epsilon[/inlmath] okolinu te tačke u prostoru sa dve dimenzije, u ravni. Mislim na to i da popularno kažem na ultra mali radijus i ultra mali kružić oko tačke [inlmath](1,1)[/inlmath]. Ako se sve te tačke ne bi poklapale, činile bi pravu ili krivu ili čak celu ravan. A to je tek dovedeno ad absurdum. A gde da se poklope osim u posmatranoj tački?
A u prostoru [inlmath]R^3[/inlmath]?
A u prostoru [inlmath]R^n[/inlmath]?
p.s. Još mi malo nedostaje da ovaj svoj post prebacim u jedan drugi podforum, znate na koji mislim. Ispravite me ako grešim i ne zamerite na šali :D .
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +1

Re: Jednakost 0.999...=1

Postod Daniel » Nedelja, 05. Jul 2015, 22:59

desideri je napisao:[dispmath]1.000\ldots-0.999\ldots=?[/dispmath]

Uočimo pravilnost:
[dispmath]1-0,9=0,1\\
1-0,99=0,01\\
1-0,999=0,001\\
\vdots\\
1-0,\underbrace{99\ldots9}_{k\;\mathrm{devetki}}=\underbrace{0,00\ldots0}_{k\;\mathrm{nula}}1\\
\vdots[/dispmath]
Dakle, kada od jedinice oduzmemo broj koji nakon nule i decimalnog zareza ima beskonačno mnogo devetki, tj. [inlmath]1-0,\underbrace{99\ldots9}_{\infty\;\mathrm{devetki}}[/inlmath], dobićemo broj koji ima beskonačno mnogo nula i, nakon njih, jednu jedinicu: [inlmath]\underbrace{0,00\ldots0}_{\infty\;\mathrm{nula}}1[/inlmath]. Ako nakon decimalnog zareza imamo [inlmath]\infty[/inlmath] nula (tačnije, [inlmath]\infty-1[/inlmath], ali to je takođe [inlmath]\infty[/inlmath]), ima li onda smisla govoriti o cifri koja dolazi nakon tih beskonačno mnogo nula? :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Jednakost 0.999...=1

Postod desideri » Ponedeljak, 06. Jul 2015, 11:03

Daniel je napisao:ima li onda smisla govoriti o cifri koja dolazi nakon tih beskonačno mnogo nula?

:thumbup:
Nema smisla govoriti o takvoj cifri.
Ja sam to zapravo i hteo da pokažem, no ti si pokazao eksplicitnije.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +1

Re: Jednakost 0.999...=1

Postod Onomatopeja » Sreda, 28. Oktobar 2015, 14:55

Procitah (mada sam vise preleteo okom) sta ste sve napisali, i samo cu prvo kratko reci da se slazem da vazi spomenuta jednakost iz naslova. Ali, pokusacu i da dam neki formalni pristup svemu tome.

Naime, prvo kada govorimo o ovakvim stvarima, mi moramo definisati sta za nas predstavlja decimalni zapis (jer ako vec govorimo o njemu, moramo ga nekako i definisati). U tu svrhu, bice nam potrebna funkcija ceo deo. Naime, za (realno) [inlmath]x>0[/inlmath] definisemo ceo deo broja [inlmath]x[/inlmath] kao [inlmath][x] = \min\{n \in \mathbb{N} \mid n \cdot 1 > x\} - 1[/inlmath]. Da ovaj skup nije prazan sledi na osnovu Arhimedovog svojstva, a takodje podrazumevamo da svaki neprazan podskup skupa [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] ima najmanji element. Naravno, definicija funkcije "ceo deo" se moze prosiriti i na negativnom delu realne ose, tj. uzimacemo za [inlmath]x \in \mathbb{R}[/inlmath] da je [inlmath][x] = \min\{n \in \mathbb{Z} \mid n \cdot 1 > x\} - 1[/inlmath]. Iz same definicije se moze pokazati da za svako [inlmath]x \in \mathbb{R}[/inlmath] vazi [inlmath][x] \le x < [x]+1[/inlmath].

Sada smo u stanju da definisemo prvu decimalu. Naime, prva decimala realnog broja [inlmath]x[/inlmath] je broj [inlmath]d_1 = [10x]-10[x][/inlmath]. Slicno, druga decimala realnog broja [inlmath]x[/inlmath] je broj [inlmath]d_2=[100x]-100[x]-10d_1[/inlmath]. I slicno za [inlmath]n[/inlmath]-tu decimalu. Tacnije, induktivno se definise [inlmath]n[/inlmath]-ta decimala realnog broja [inlmath]x[/inlmath] sa
[dispmath]d_n = [10^n x]-10^n[x]- 10^{n-1}d_1 - 10^{n-2}d_2 -\cdots - 10d_{n-1}= [10^n x]-10^n[x]- \sum_{k=1}^{n-1}d_k10^{n-k}.[/dispmath] Sada definisemo decimalni zapis realnog broja [inlmath]x[/inlmath]. Naime, oznaku [inlmath][x],d_1d_2d_3\ldots[/inlmath] nazivamo decimalni zapis realnog broja [inlmath]x[/inlmath].

Da navedemo i jos neke korisne osobine koje se mogu pokazati iz same definicije. Naime, ako su [inlmath]d_1,d_2,\ldots[/inlmath] decimale realnog broja [inlmath]x[/inlmath] tada se moze pokazati da je
1) za sve [inlmath]k \in \mathbb{N}[/inlmath] je [inlmath]d_k \in \{0,1,2,\ldots,9\}[/inlmath];

2) za svaki prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] vazi
[dispmath][x]+\sum_{k=1}^n \frac{d_k}{10^k} \le x < [x]+\sum_{k=1}^n \frac{d_k}{10^k} + \frac{1}{10^n} \tag{1}[/dispmath] 3) ako oznacimo [inlmath]\displaystyle x_n =[x]+\sum_{k=1}^n \frac{d_k}{10^k}[/inlmath], onda je (sledi iz [inlmath](1)[/inlmath]) [dispmath]x = \sup \{x_n \mid n \in \mathbb{N}\}. \tag{2}[/dispmath]
Dakle, mi smo ovde dali definiciju kojom svakom realnom broju dodeljujemo njegov decimalni zapis. Stavise, to preslikavanje je injektivno ([inlmath]1-1[/inlmath]), sto se moze videti iz osobine 3) koju smo upravo naveli. Naime, ako bi dva realna broja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] imala isti decimalni zapis, onda bi se skupovi [inlmath]\{x_n\}[/inlmath] i [inlmath]\{y_n\}[/inlmath] poklapali, pa bi prema [inlmath](2)[/inlmath] imali isti supremem, odnosno, vazilo bi [inlmath]x=y[/inlmath]. To nam daje spomenutu injektivnost pridruzivanja: realni broj [inlmath]\to[/inlmath] decimalni zapis.

Ali, sa druge strane mi sa [inlmath](2)[/inlmath] mozemo svakom decimalnom zapisu dodeliti realan broj. Medjutim, to dodeljivanje nije vise injektivno. Primer da je tako je upravo primer iz naslova, jer bi se onda decimalnim zapisima [inlmath]1,000\ldots[/inlmath] i [inlmath]0,999\ldots[/inlmath] dodelio isti realan broj [inlmath]1[/inlmath]. Zato vidimo da je skup decimalnih zapisa nesto siri, veci, od skupa realnih brojeva. Koliko je to veci skup se moze i efektivno videti, naime vazi sledece: ako decimalnim brojevima [inlmath]n,d_1d_2d_3\ldots[/inlmath] i [inlmath]m,c_1c_2c_3\ldots[/inlmath] odgovaraju isti realni brojevi (pridruzivanjem koje smo vec spomenuli) tada vazi jedna od sledece tri mogucnosti
1) [inlmath]m=n[/inlmath] i [inlmath]d_j=c_j[/inlmath] za sve [inlmath]j[/inlmath];
2) [inlmath]m=n[/inlmath] i [inlmath]d_j=c_j[/inlmath] za [inlmath]j=1,2,\ldots,k-1[/inlmath] i [inlmath]\color{red} d_k - 1=c_k[/inlmath] i [inlmath]d_j=0, c_j=9[/inlmath] za sve [inlmath]j>k[/inlmath];
3) [inlmath]n=m+1[/inlmath] i [inlmath]d_j=0, c_j=9[/inlmath] za sve [inlmath]j \in \mathbb{N}[/inlmath].

Nadam se da su posle ovoga neke stvari bar malo jasnije.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Jednakost 0.999...=1

Postod desideri » Sreda, 28. Oktobar 2015, 23:22

Onomatopeja je napisao:Nadam se da su posle ovoga neke stvari bar malo jasnije.

Biće jasnije...
Nešto kasnije!
Tek sad si me bacio u razmišljanje, moram ovo tvoje da proučim.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Jednakost 0.999...=1

Postod Daniel » Četvrtak, 29. Oktobar 2015, 02:37

Pre svega, svaka čast za ovako detaljnu analizu. :good: Kad je meni trebalo vremena da ovo sve iščitam i razumem, mogu misliti koliko je tek trebalo vremena sve ovo i napisati.

Imam samo dve nejasnoće. Prvo,
Onomatopeja je napisao:Naime, za (realno) [inlmath]x>0[/inlmath] definisemo ceo deo broja [inlmath]x[/inlmath] kao [inlmath][x] = \min\{n \in \mathbb{N} \mid n \cdot 1 > x\} - 1[/inlmath].

Kako bismo mogli, iz ovakve definicije celog dela broja, da opravdamo zapis broja [inlmath]1[/inlmath] kao [inlmath]0,999\ldots[/inlmath], kod kojeg je ceo deo nula?

I drugo,
Onomatopeja je napisao:ako decimalnim brojevima [inlmath]n,d_1d_2d_3\ldots[/inlmath] i [inlmath]m,c_1c_2c_3\ldots[/inlmath] odgovaraju isti realni brojevi (pridruzivanjem koje smo vec spomenuli) tada vazi jedna od sledece tri mogucnosti
1) [inlmath]m=n[/inlmath] i [inlmath]d_j=c_j[/inlmath] za sve [inlmath]j[/inlmath];
2) [inlmath]m=n[/inlmath] i [inlmath]d_j=c_j[/inlmath] za [inlmath]j=1,2,\ldots,k-1[/inlmath] i [inlmath]\color{red}d_k+1=c_k[/inlmath] i [inlmath]d_j=0, c_j=9[/inlmath] za sve [inlmath]j>k[/inlmath];
3) [inlmath]n=m+1[/inlmath] i [inlmath]d_j=0, c_j=9[/inlmath] za sve [inlmath]j \in \mathbb{N}[/inlmath].

Ako se ne varam, crveno obeleženi deo bi trebalo da glasi ili [inlmath]d_k-1=c_k[/inlmath], ili [inlmath]d_k=c_k+1[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Jednakost 0.999...=1

Postod Onomatopeja » Četvrtak, 29. Oktobar 2015, 22:13

Daniel je napisao:
Onomatopeja je napisao:Naime, za (realno) [inlmath]x>0[/inlmath] definisemo ceo deo broja [inlmath]x[/inlmath] kao [inlmath][x] = \min\{n \in \mathbb{N} \mid n \cdot 1 > x\} - 1[/inlmath].

Kako bismo mogli, iz ovakve definicije celog dela broja, da opravdamo zapis broja [inlmath]1[/inlmath] kao [inlmath]0,999\ldots[/inlmath], kod kojeg je ceo deo nula?


O tome sam pricao u onom delu pod 3). Tacnije, o prici kako formiramo preslikavanje koje decimalnom zapisu dodeljuje realan broj. Kod zapisa [inlmath]0,999\ldots[/inlmath] mi bismo imali: [inlmath]\displaystyle x_1 = [0,999\ldots] + \frac{d_1}{10} = 0 + \frac{9}{10}=\frac{9}{10}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle x_2 = [0,999\ldots] + \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}{100} = \frac{9}{10} + \frac{9}{100}=\frac{99}{100}[/inlmath] i slicno
[dispmath]x_n = [0,999\ldots] + \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{10^k} = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots + \frac{9}{10^n}=\frac{\overbrace{99\ldots9}^n}{100}.[/dispmath]Kako je [inlmath]\sup\{x_n \mid n \in \mathbb{N}\} = 1[/inlmath], to decimalnom zapisu [inlmath]0,999\ldots[/inlmath] dodeljujemo realan broj [inlmath]1[/inlmath].

Za ovo drugo (oko greske): da, zaista, moj previd. Promenio sam to u samom tekstu (i oznacio).
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Prethodna

Povratak na ZANIMLJIVI ZADACI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 36 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 16:13 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs