Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica RAZNO ZANIMLJIVI ZADACI

Što je veće?

  • +2

Što je veće?

Postod eseper » Sreda, 28. Avgust 2013, 20:11

Što je veće, [inlmath]e^{\displaystyle\pi}[/inlmath] ili [inlmath]\pi^{\displaystyle e}[/inlmath] ? Pokušajte formulirati i dokazati nešto općenitiju tvrdnju.

Da vidimo, ko zna argumentirano objasniti :icon_lol:
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Što je veće?

Postod Milovan » Četvrtak, 29. Avgust 2013, 19:43

Ima još načina, evo jednog.
Posmatrajmo funkciju [inlmath]f(x)=e^x-x^e[/inlmath].
Njen prvi izvod je [inlmath]f'(x)=e^x-ex^{e-1}[/inlmath]
U tačkama gde funkcija ima ekstreme prvi izvod je nula:
[dispmath]e^x=ex^{e-1}[/dispmath]
Jedina rešenja ove jednačine su [inlmath]x=e[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath].
Kako eksponecijalna funkcija raste brže od stepene, leva strana će za [inlmath]x>e[/inlmath] biti veća desne, odnosno prvi izvod će biti pozitivan.
To znači da funkcija za [inlmath]x>e[/inlmath] raste. Kako u tački [inlmath]e[/inlmath] ima vrednost [inlmath]f(x)=e^e-e^e=0[/inlmath], znači da je za [inlmath]x>e[/inlmath] ispunjena nejednakost [inlmath]f(x)=e^x-x^e>0[/inlmath]
Samim tim je [inlmath]f(\pi)>0[/inlmath], a [inlmath]e^\pi-\pi^e>0[/inlmath]
Otuda je [inlmath]e^\pi>\pi^e[/inlmath]
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 698 puta

  • +2

Re: Što je veće?

Postod Daniel » Četvrtak, 29. Avgust 2013, 21:52

Milovan je napisao:[dispmath]e^x=ex^{e-1}[/dispmath]
Jedina rešenja ove jednačine su [inlmath]x=e[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath].

Koliko vidim, do ovih rešenja, zbog transcedentnosti jednačine, možemo doći jedino numerički, ili – nagađanjem... :?:

Evo još jednog načina. Znamo da može biti ili [inlmath]e^\pi<\pi^e[/inlmath] ili [inlmath]e^\pi=\pi^e[/inlmath] ili [inlmath]e^\pi>\pi^e[/inlmath]. Pretpostavimo jedan od ovih slučajeva, recimo, [inlmath]e^\pi<\pi^e[/inlmath], pa ako je pretpostavka tačna to će se i pokazati, a ako dođemo do kontradikcije, znači da pretpostavka nije bila tačna. Znači,[dispmath]e^\pi<\pi^e[/dispmath]Logaritmujemo obe strane:[dispmath]\ln e^\pi<\ln\pi^e[/dispmath][dispmath]\pi<e\ln\pi[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{\ln\pi}<e[/dispmath]Sada posmatramo funkciju[dispmath]f\left(x\right)=\frac{x}{\ln x}[/dispmath]Prvi izvod te funkcije je[dispmath]f\:'\left(x\right)=\left(\frac{x}{\ln x}\right)'=\frac{\ln x-\cancel x\cdot\frac{1}{\cancel x}}{\ln^2 x}=\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}[/dispmath]pa vidimo da jedini ekstrem ova funkcija ima za [inlmath]\ln x=1[/inlmath], tj. za [inlmath]x=e[/inlmath]. Radi određivanja da li je ovo minimum ili maksimum, školski način bi bio da se traži drugi izvod pa da se gleda njegov znak, ali za time nema potrebe, budući da se može videti da ova funkcija nije definisana za [inlmath]\ln x=0[/inlmath], tj. za [inlmath]x=1[/inlmath], da je [inlmath]\lim\limits_{x\to 1^+}f\left(x\right)=+\infty[/inlmath], dok je u intervalu [inlmath]\left(1,+\infty\right)[/inlmath] definisana, neprekidna, diferencijabilna i pozitivna. Pošto je pozitivna, jasno je da u tom intervalu mora biti ograničena s donje strane, a iz ovih ostalih podataka intuitivno je jasno i da, pošto ima samo jednu tačku ekstrema, ta tačka ekstrema mora biti lokalni minimum, koji će predstavljati i minimalnu vrednost funkcije na tom intervalu. Ta minimalna vrednost iznosi [inlmath]f\left(e\right)=\frac{e}{\ln e}=e[/inlmath]. Pošto, dakle, [inlmath]f\left(e\right)[/inlmath] na intervalu [inlmath]\left(1,+\infty\right)[/inlmath] uvek ima vrednost veću od [inlmath]e[/inlmath], osim u tački [inlmath]x=e[/inlmath], znači da će biti i [inlmath]f\left(\pi\right)>e[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{\pi}{\ln\pi}>e[/inlmath], iz čega se vidi da prvobitna pretpostavka, [inlmath]e^\pi<\pi^e[/inlmath], nije tačna, već je tačna nejednakost [inlmath]e^\pi>\pi^e[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

  • +1

Re: Što je veće?

Postod Milovan » Četvrtak, 29. Avgust 2013, 22:03

Daniel je napisao:Koliko vidim, do ovih rešenja, zbog transcedentnosti jednačine, možemo doći jedino numerički, ili – nagađanjem... :?:

Tačno, ali nagađanje je ovde baš jednostavno:
Jednostavno, napišemo [inlmath]e^x=ex^{e-1}[/inlmath] kao [inlmath]e^{x-1}=x^{e-1}[/inlmath]
I onda postaje jasno da je jednačina zadovoljena i za [inlmath]x=1[/inlmath] i za [inlmath]x=e[/inlmath].
Da su to jedina rešenja možemo zaključiti znajući da sa jedne strane u jednakosti [inlmath]e^x=ex^{e-1}[/inlmath] imamo eksponencijalnu, a sa druge stepenu funkciju, i da im se grafici seku u najviše dve tačke.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 698 puta

  • +2

Re: Što je veće?

Postod Milovan » Četvrtak, 29. Avgust 2013, 23:28

Još jedan način...
Posmatrajmo funkciju: [inlmath]f(x)=x-e\ln x[/inlmath]
Prvi izvod te funkcije je [inlmath]f'(x)=1-\frac{e}{x}[/inlmath]
Sasvim jasno da će za [inlmath]x>e[/inlmath] biti [inlmath]f'(x)>0[/inlmath] (dakle, funkcija raste za [inlmath]x>e[/inlmath], a kako je [inlmath]f(e)=0[/inlmath], sledi da je funkcija pozitivna za [inlmath]x>e[/inlmath]).
Otuda je [inlmath]f(\pi)=\pi-e\ln\pi>0[/inlmath], tj. [inlmath]\pi>e\ln\pi[/inlmath]
Kako je funkcija [inlmath]g(x)=e^x[/inlmath] monotno rastuća,
[dispmath]e^\pi>e^{e\ln\pi}\\
e^\pi>e^{\ln{\pi}^e}\\
e^\pi>\pi^e[/dispmath]
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 698 puta

Re: Što je veće?

Postod Daniel » Utorak, 03. Septembar 2013, 07:23

Pošto se tražilo i uopštenje, može se dokazati da
[dispmath]\left(\left.\forall a,b\in\mathbb{R}\;\right|\;a,b\ge e\right)\left(a<b\;\Rightarrow\;a^b>b^a\right)[/dispmath]
tj. kada ni [inlmath]a[/inlmath] ni [inlmath]b[/inlmath] nisu manji od [inlmath]e[/inlmath], tada važi [inlmath]a<b\;\Rightarrow\;a^b>b^a[/inlmath].

Dokaz:
Pošto je već pokazano da je prvi izvod funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\frac{x}{\ln x}[/inlmath] jednak [inlmath]f\:'\left(x\right)=\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}[/inlmath], odatle vidimo da, ako je [inlmath]x>e[/inlmath], tada je [inlmath]\ln x>1\;\Rightarrow\;\ln x-1>0\;\Rightarrow\;f\:'\left(x\right)>0\;\Rightarrow[/inlmath] funkcija je rastuća, a ako je [inlmath]x=e[/inlmath], tada je [inlmath]\ln x=1\;\Rightarrow\;\ln x-1=0\;\Rightarrow\;f\:'\left(x\right)=0\;\Rightarrow[/inlmath] funkcija ima minimum. Pošto su i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], po pretpostavci, veći ili jednaki od [inlmath]e[/inlmath], funkciju [inlmath]\frac{x}{\ln x}[/inlmath] možemo u ovom dokazu smatrati rastućom:
[dispmath]a<b\quad\Rightarrow\quad\frac{a}{\ln a}<\frac{b}{\ln b}[/dispmath]
Budući da logaritamska funkcija uvek daje pozitivnu vrednost, možemo obe strane pomnožiti sa [inlmath]\ln a\ln b[/inlmath], ne narušavajući pri tome smer znaka nejednakosti:
[dispmath]a\ln b<b\ln a\quad\Rightarrow\quad\ln b^a<\ln a^b[/dispmath]
a pošto je funkcija [inlmath]\ln x[/inlmath] rastuća na celoj svojoj oblasti definisanosti, možemo pisati:
[dispmath]\ln a^b>\ln b^a\quad\Rightarrow\quad a^b>b^a[/dispmath]
što je i trebalo dokazati.



Upravo [inlmath]e[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath] spadaju u takve brojeve koji su veći ili jednaki od [inlmath]e[/inlmath], pa zato kod njih važi [inlmath]e^\pi>\pi^e[/inlmath], budući da je [inlmath]e<\pi[/inlmath].

Kao primer brojeva od kojih je bar jedan manji od [inlmath]e[/inlmath] i za koje ne važi pomenuta implikacija, jesu brojevi [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath]:

[inlmath]2<3[/inlmath], ali [inlmath]2^3<3^2[/inlmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

Re: Što je veće?

Postod Daniel » Sreda, 04. Septembar 2013, 18:28

Da ne bude zabune, iako nejednakost [inlmath]a^b>b^a[/inlmath], gde je [inlmath]a<b[/inlmath], važi onda kada [inlmath]a,b\in\left[e,+\infty\right)[/inlmath], to ne znači da ta nejednakost neće biti zadovoljena i u pojedinim slučajevima kada je jedan od brojeva [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]b[/inlmath] manji od [inlmath]e[/inlmath].

Primer za to su brojevi [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath]: zadovoljeno je [inlmath]2<5[/inlmath], ali je zadovoljeno i [inlmath]2^5>5^2[/inlmath].

Potreban i dovoljan uslov zadovoljenja nejednakosti [inlmath]a^b>b^a[/inlmath], gde je [inlmath]a<b[/inlmath], jeste taj, da je [inlmath]\frac{a}{\ln a}<\frac{b}{\ln b}[/inlmath]. Taj uslov će sigurno biti zadovoljen u intervalu gde je [inlmath]\frac{x}{\ln x}[/inlmath] rastuća funkcija, a to je tamo gde su i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] veći ili jednaki [inlmath]e[/inlmath], ali [inlmath]\frac{a}{\ln a}<\frac{b}{\ln b}[/inlmath] može biti zadovoljeno i u nekim slučajevima kada je neki od ta dva broja manji od [inlmath]e[/inlmath], kao što je prethodno navedeni slučaj s dvojkom i peticom.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta


Povratak na ZANIMLJIVI ZADACI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 17. Februar 2020, 07:43 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs