Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Dokazati nejednakost bez digitrona

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Dokazati nejednakost bez digitrona

Postod geostorm » Petak, 10. Novembar 2017, 17:35

Treba dokazati sledeću nejednakost:
[dispmath]\sqrt[3]{3+\sqrt[3]3}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]3}<2\sqrt[3]3[/dispmath] Treba mi početna ideja. Ne znam šta da uradim sa levom stranom. Probao sam da podignem sve na kub, ali mi leva strana pravi problem.
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazati nejednakost bez digitrona

Postod Onomatopeja » Subota, 11. Novembar 2017, 00:14

Moze elementarno, a moze i da se primeti da je funkcija [inlmath]f(t)=\sqrt[3]t[/inlmath] konkavna za [inlmath]t\ge0[/inlmath], pa je [inlmath]f((1-\lambda)x+\lambda y)\ge(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)[/inlmath] za sve [inlmath]x,y\ge0[/inlmath] i [inlmath]\lambda\in(0,1)[/inlmath] (jednakost vazi ako i samo ako je [inlmath]x=y[/inlmath]). Ako uzmemo [inlmath]\lambda=\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]x=3+\sqrt[3]3[/inlmath] i [inlmath]y=3-\sqrt[3]3[/inlmath] dobijamo trazenu nejednakost (i to strogu).
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Dokazati nejednakost bez digitrona

Postod geostorm » Subota, 11. Novembar 2017, 12:07

Hvala na pomoći.
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Dokazati nejednakost bez digitrona

Postod Daniel » Subota, 11. Novembar 2017, 12:28

@geostorm, imaš opciju za zahvaljivanje na koju možeš kliknuti (sličica podignutog palca u gornjem desnom uglu posta). ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Dokazati nejednakost bez digitrona

Postod Onomatopeja » Ponedeljak, 13. Novembar 2017, 23:05

Nekako osecam da sam duzan i da dam taj elementarni dokaz, s obzirom da sam rekao da on postoji. Naime, neka je [inlmath]a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]3}[/inlmath], [inlmath]b=\sqrt[3]{3-\sqrt[3]3}[/inlmath] i [inlmath]c=-2\sqrt[3]3[/inlmath]. Potrebno je pokazati da je [inlmath]a+b+c<0[/inlmath], a mi znamo efektivno da radimo sa [inlmath]a^3[/inlmath], [inlmath]b^3[/inlmath] i [inlmath]c^3[/inlmath]. Zato je dobro potraziti neki identitet koji ih povezuje, i posle malo posla mozemo se uveriti da vazi [inlmath]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[/inlmath]. Takodje, [inlmath]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0[/inlmath], sto mozemo videti ako taj izraz zapisemo na zgodan nacin preko kvadrata binoma. Stavise, odatle ce se videti i da vazi [inlmath]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0[/inlmath] ako i samo ako je [inlmath]a=b=c[/inlmath] (sto kod nas nije slucaj, te znamo da je kod nas to strogo pozitivan broj). Zato ce vaziti [inlmath]a+b+c<0[/inlmath] ako i samo ako je [inlmath]a^3+b^3+c^3-3abc<0[/inlmath], a u ovo poslednje se uveravamo posle kratkog racuna (zapisati na sta se to svodi u nasem slucaju). I to je to onda.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Dokazati nejednakost bez digitrona

Postod Daniel » Utorak, 14. Novembar 2017, 09:01

Malko bih samo pripomogao onima koji budu radili na ovaj drugi način, jer mi se čini za par stvari da i nisu baš previše očigledne (ako neko bude želeo da pokuša bez ove pomoći, nek ne čita ostatak posta).

Onomatopeja je napisao:i posle malo posla mozemo se uveriti da vazi [inlmath]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[/inlmath].

Detaljnije o toj jednakosti – ovde.

Onomatopeja je napisao:Takodje, [inlmath]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0[/inlmath], sto mozemo videti ako taj izraz zapisemo na zgodan nacin preko kvadrata binoma.

Razviti [inlmath](a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2[/inlmath] i uporediti s levom stranom citirane nejednakosti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 40 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:11 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs