Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Jednacina s parametrom – MATF prijemni, 2011.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Jednacina s parametrom – MATF prijemni, 2011.

Postod Mila Maric » Petak, 20. Oktobar 2017, 17:30

Prijemni ispit MATF – 29. jun 2011.
5. zadatak


Vrednost realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] za koju je zbir kvadrata rešenja jednačine [inlmath]x^2−mx+m−3=0[/inlmath] najmanji je?
Resenje je [inlmath]1[/inlmath].
Razumem kako da izracunam minimalna resenja, ali posto se trazi da zbir kvadrata tih resenja bude minimalan (sto znaci da resenja ne moraju imati minimalnu vrednost), ne razumem kako da znam kada [inlmath]x_1^2+x_2^2[/inlmath] ima minimalno resenje.
 
Postovi: 16
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Jednacina s parametrom – MATF prijemni, 2011.

Postod Igor » Petak, 20. Oktobar 2017, 21:32

Koristi Vijetove formule.
[dispmath]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/dispmath] Kada ovde primeniš Vijetove formule, dobićes kvadratni trinom [inlmath]m^2-2m+6[/inlmath]. Vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] za koju pomenuti trinom ima minimum nije teško odrediti (nula prvog izvoda ili uz pomoć koordinata temena parabole) :)
The only way to learn mathematics is to do mathematics. - Paul Halmos
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 54
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 61 puta

Kvadratna jednačina s parametrom

Postod diopo » Ponedeljak, 04. Decembar 2017, 19:17

* MOD EDIT * Spojene dve teme s istim zadatkom

Vrednost realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] za koju je zbir kvadrata korena jednačine
[dispmath]x^2-mx+m-3=0[/dispmath] najmanji pripada intervalu:
[inlmath]A)\;(-\infty,-1]\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;(-5,-2]\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;(-2,2]\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;(2,5]\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;(5,+\infty)[/inlmath]

Eh, sad... pretpostavljam da je tačan odgovor pod [inlmath]C)[/inlmath], bar sam ja tako dobio.
Dakle, izračunao sam [inlmath]x_1^2+x_2^2[/inlmath].
Dobijam ovo:
[dispmath]m^2-2m+6[/dispmath] i to je to. Blokada. Nisam znao kako da ga uradim, pa sam primenio prvi izvod na ovome gore i dobio [inlmath]f'(x)=2m-2[/inlmath] što sam izjednačio sa nulom i dobio da mi je [inlmath]m=1[/inlmath], odatle zaključujemo da je tačan odgovor pod [inlmath]C)[/inlmath], jer je [inlmath]1[/inlmath] samo u tom intervalu.

Moja pitanja:
1. Da li je dobro ovo što sam ja uradio?
2. Da li postoji način da se ovo uradi bez izvoda i kako? (dakle samo primenom i povezivanjem osnova kvadratne jednačine i funkcije)?

Hvala ;)
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +2

Re: Kvadratna jednačina s parametrom

Postod Tinker » Ponedeljak, 04. Decembar 2017, 19:26

Da, ovo ti je sasvim tačno. Rastaviš jednačinu preko vijetovih kao što si i uradio, i kada dobiješ kvadratnu jednačinu, izjednačiš je sa [inlmath]0[/inlmath] i primeniš prvi izvod. :)
Mislim da postoje i formule za pronalaženje ekstrema, ali i ja ovo radim preko izvoda jer je dosta praktičnije i ne moraš da se mučiš da pamtiš još dodatnu formulu koju ipak nećeš koristiti tako često. :D
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Kvadratna jednačina s parametrom

Postod Daniel » Ponedeljak, 04. Decembar 2017, 19:49

A možeš i bez izvoda, preko te „dodatne“ formule za koordinate temena:
[dispmath]x_T=-\frac{b}{2a},\qquad y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}\left(=-\frac{D}{4a}\right)[/dispmath] ovde ti je potrebna samo ova prva, za određivanje [inlmath]x_T[/inlmath].
I nisam baš siguran da ove formule nema potrebe znati (da l' ćeš ih naučiti napamet, ili ćeš umeti da ih izvedeš kad ti zatrebaju, to već i nije tol'ko bitno).

Pošto je koeficijent uz kvadratni član u jednačini [inlmath]x^2-mx+m-3=0[/inlmath] pozitivan (jednak je jedinici), znači da će teme predstavljati minimum. U protivnom, predstavljalo bi maksimum.

EDIT: Sad videh da smo taj zadatak i imali, pre jedno metar i po dana. Bio je na prijemnom na MATF-u, 2011. godine.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6717
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3516 puta
Pohvaljen: 3699 puta

Re: Kvadratna jednačina s parametrom

Postod diopo » Ponedeljak, 04. Decembar 2017, 20:35

Hvala obojici. Izvinjavam se sto sam promasio temu i sto sam postavio isti zadatak :facepalm:
Ali, Daniele, i dalje mi nije jasno kako da povezem teme parabole sa ovim :/
Mozes li da mi pojasnis malo? :)
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +2

Re: Kvadratna jednačina s parametrom

Postod Daniel » Ponedeljak, 04. Decembar 2017, 21:29

Nikakav problem – nisam to napisao zato da bih te kritikovao, već da bi zainteresovani mogli da vide taj zadatak i na drugom mestu, a i da bi znali da je zadatak s prijemnog. Ali, budući da u ovoj temi ipak malo detaljnije obrađujemo taj zadatak, spojiću je s tom prethodnom temom.

Zbir kvadrata [inlmath]x_1^2+x_2^2[/inlmath] povezujemo s temenom parabole [inlmath]m^2-2m+6[/inlmath], a ne s temenom parabole [inlmath]x^2-mx+m-3=0[/inlmath]. Možda te to buni?
Dakle, traži se da je zbir [inlmath]x_1^2+x_2^2[/inlmath] minimalan. Ti si ispravno odredio čemu je taj zbir jednak (pretpostavljam da si izraz napisao kao [inlmath](x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/inlmath] pa primenio Vietove formule, jer tako je najlakše) i dobio si da je posmatrani zbir kvadrata rešenja jednak izrazu [inlmath]m^2-2m+6[/inlmath]. Dakle, potrebno je da [inlmath]m^2-2m+6[/inlmath] bude minimalan. I, njega sad posmatramo kao tu novu parabolu, tj. novu kvadratnu funkciju po [inlmath]m[/inlmath] (za razliku od one prvobitne kvadratne funkcije koja je bila po [inlmath]x[/inlmath]) i tražimo za koje [inlmath]m[/inlmath] će izraz [inlmath]m^2-2m+6[/inlmath] biti minimalan. I, kao što već napisasmo, to radimo ili preko prvog izvoda, ili određivanjem položaja temena u zavisnosti od vrednosti [inlmath]m[/inlmath].

Ne znam da l' sam ti ovime razjasnio, da l' je to bilo ono što te bunilo?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6717
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3516 puta
Pohvaljen: 3699 puta

Re: Jednacina s parametrom – MATF prijemni, 2011.

Postod diopo » Ponedeljak, 04. Decembar 2017, 21:59

Hvala ti puno. Ponekad se divim svojoj gluposti..
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Bing [Bot] i 14 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 16. Decembar 2017, 17:45 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs