Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Nejednačina s apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2017.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Nejednačina s apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2017.

Postod diopo » Petak, 09. Februar 2018, 22:08

Prijemni ispit ETF – 26. jun 2017.
14. zadatak


14. Skup svih realnih rešenja nejednačine [inlmath]\displaystyle\frac{\left|3^x-1\right|-\left|3-3^x\right|-2}{\sqrt{4^x-2^{x+3}+16}}\ge0[/inlmath] je oblika (za neke realne brojeve [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] takve da je [inlmath]-\infty<a<b<c<d<+\infty[/inlmath].

Odgovor:
[dispmath][a,b)\cup(b,+\infty)[/dispmath] Logika mi je bila ova: Potkorena velicina mora da bude veca ili jednaka nuli, ali s obzirom da se koren nalazi u imeniocu, u pitanju je strogo vece. Ovo je ispunjeno za svako [inlmath]x[/inlmath] sem za [inlmath]x=2[/inlmath]. Dakle, ovakvoj nejednacini, ekvivalentno je: brojilac je veci ili jednak sa [inlmath]0[/inlmath]... ovo mi nije dalo nikakve rezultate.
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 45
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 15 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Nejednačina s apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2017.

Postod Tinker » Subota, 10. Februar 2018, 01:24

Vezano za prvi zadatak: da li si jednostavno probao da postaviš uslove vezane za apsolutne vrednosti koje su zadate u brojiocu? Da postaviš slučaj kada je [inlmath]3^x-1\ge0;\;1-3^x<0[/inlmath] i isto tako [inlmath]3^x-3\ge0;\;3-3^x<0[/inlmath] i onda napraviš tabelu koristeći te dve apsolutne vrednosti, izvedeš 3 slučaja i rešiš? Deluje mi kao da bi to rešilo probleme koje imaš u tom zadatku, pošto sad baš nemam previše vremena da se posvetim tome a razumem da tebi pomoć treba što pre :D. I da, u pravu si da potkorena veličina treba biti [inlmath]\ge0[/inlmath], ali da će biti strogo veća zato što broj ispod razlomka ne može biti jednak nuli.
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 76
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 32 puta

  • +1

Re: Nejednačina s apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2017.

Postod bobanex » Subota, 10. Februar 2018, 11:15

[dispmath]3^x-1\ge0;\;1-3^x<0[/dispmath] Ne misliš da su malo čudni ovi uslovi? :)
Korisnikov avatar
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 453
Lokacija: Požarevac
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 461 puta

Re: Nejednačina s apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2017.

Postod diopo » Subota, 10. Februar 2018, 12:29

Ovu nejednacinu gore sveo sam na:
[dispmath]\left|3^x-1\right|-\left|3-3^x\right|-2\ge0[/dispmath] Onda sam se oslobodio apsolutnih vrednosti, nakon uslova:
1) [inlmath]\left|3^x-1\right|[/inlmath] je:
[inlmath]3^x-1,\hspace{5mm}x\ge0\\
1-3^x,\hspace{5mm}x<0[/inlmath]

2) [inlmath]\left|3-3^x\right|[/inlmath] je:
[inlmath]3-3^x,\hspace{5mm}x\le1\\
3^x-3,\hspace{5mm}x>1[/inlmath]

Onda ovo radim u dva slucaja, prvi kada [inlmath]x\in[0,1][/inlmath] i drugi kada [inlmath]x\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)[/inlmath]

Pretpostavljam da sam ispustio neki slucaj... ako moze pomoc :)
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 45
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 15 puta

  • +2

Re: Nejednačina s apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2017.

Postod Tinker » Subota, 10. Februar 2018, 13:44

diopo je napisao:1) [inlmath]\left|3^x-1\right|[/inlmath] je:
[inlmath]3^x-1,\hspace{5mm}x\ge0\\
1-3^x,\hspace{5mm}x<0[/inlmath]

2) [inlmath]\left|3-3^x\right|[/inlmath] je:
[inlmath]3-3^x,\hspace{5mm}x\le1\\
3^x-3,\hspace{5mm}x>1[/inlmath]

Onda ovo radim u dva slucaja, prvi kada [inlmath]x\in[0,1][/inlmath] i drugi kada [inlmath]x\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)[/inlmath]

Da, oslobađanje od apsolutnih vrednosti si dobro uradio, dok izvođenje slučajeva i ne baš... Dakle:
1) [inlmath]x\in(-\infty, 0)[/inlmath], u kome za apsolutnu vrednost [inlmath]\left|3^x-1\right|[/inlmath] uzimaš [inlmath]1-3^x[/inlmath], a za [inlmath]\left|3-3^x\right|[/inlmath] uzimaš [inlmath]3-3^x[/inlmath].
2) [inlmath]x\in[0,1)[/inlmath] za [inlmath]\left|3^x-1\right|[/inlmath] važi [inlmath]3^x-1[/inlmath] i [inlmath]\left|3-3^x\right|[/inlmath] važi [inlmath]3-3^x[/inlmath]
3) [inlmath]x\in[1,+\infty)[/inlmath] za [inlmath]\left|3^x-1\right|[/inlmath] važi [inlmath]3^x-1[/inlmath] i [inlmath]\left|3-3^x\right|[/inlmath] važi [inlmath]3^x-3[/inlmath]

Voleo bih da još neko dopuni ovo ako nije tačno, pošto nisam apsolutno siguran. :)

bobanex je napisao:[dispmath]3^x-1\ge0;\;1-3^x<0[/dispmath] Ne misliš da su malo čudni ovi uslovi? :)

Da, u pravu si, loše sam iz početne jednačine uvideo kako glase apsolutne vrednosti, ali diopo je to ispravio u odgovoru. :)
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 76
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 32 puta

Re: Nejednačina s apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2017.

Postod diopo » Subota, 10. Februar 2018, 13:54

Hm, nekako mi logicnije da u 2. slucaju ukljucim i [inlmath]1[/inlmath], jer si ti u trecem slucaju ukljucio [inlmath]1[/inlmath], a za drugu apsolutnu uzeo vrednost [inlmath]3^x-3[/inlmath], koja je definisana samo ako je [inlmath]x[/inlmath] strogo vece od [inlmath]1[/inlmath]. ([inlmath]x>1[/inlmath])
Malo mi to jos uvek nije jasno :/

///EDIT: Uradio sam zadatak. Problem je bio sa pogresno postavljenim slucajevima. Uporno sam imao 2 umesto 3 potrebna slucaja. Hvala svima na pomoci. Inace, zadatak resavaju 3 slucaja koja je Tinker opisao, samo sto sam ja prepravio 2. i 3. onako kako sam iznad napisao. :)
Poslednji put menjao Daniel dana Nedelja, 11. Februar 2018, 23:27, izmenjena samo jedanput
Razlog: Uklonjen suvišan citat celog prethodnog posta (tačka 15. Pravilnika)
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 45
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 15 puta

Re: Nejednačina s apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2017.

Postod Tinker » Subota, 10. Februar 2018, 15:37

Ako i dalje imaš nedoumice oko toga kako se određuju ta tri slučaja, pogledaj ovaj zadatak. To je samo jedan od verovatno gomile koji postoje ovde, ali to sam najbrže našao. :)
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 76
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 32 puta

  • +1

Re: Nejednačina s apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2017.

Postod Daniel » Ponedeljak, 12. Februar 2018, 18:58

Hajde da ovaj deo razjasnimo:
diopo je napisao:Hm, nekako mi logicnije da u 2. slucaju ukljucim i [inlmath]1[/inlmath], jer si ti u trecem slucaju ukljucio [inlmath]1[/inlmath], a za drugu apsolutnu uzeo vrednost [inlmath]3^x-3[/inlmath], koja je definisana samo ako je [inlmath]x[/inlmath] strogo vece od [inlmath]1[/inlmath]. ([inlmath]x>1[/inlmath])
Malo mi to jos uvek nije jasno :/

Verovatno misliš na definiciju apsolutne vrednosti, koja glasi [inlmath]|x|=\begin{cases} x, & x\ge0\\ -x, & x<0 \end{cases}[/inlmath]. Iz ove definicije sledi da, ako je [inlmath]x=0[/inlmath], tada je takođe i [inlmath]|x|=0[/inlmath]. To jest, može se pisati i [inlmath]|x|=\begin{cases} x, & x>0\\ 0, & x=0\\ -x, & x<0 \end{cases}[/inlmath]. A takođe se ovaj zapis može svesti i na [inlmath]|x|=\begin{cases} x, & x>0\\ -x, & x\le0 \end{cases}[/inlmath]. Šta hoću da kažem – slučaj [inlmath]x=0[/inlmath] možemo uvrstiti ili u slučaj [inlmath]x\ge0[/inlmath], ili u slučaj [inlmath]x\le0[/inlmath], ili ga razmatrati kao odvojen slučaj – sve tri varijante su sasvim ispravne.

Isto tako, i za slučaj [inlmath]3-3^x=0[/inlmath] (što je ekvivalentno slučaju [inlmath]x=1[/inlmath] za koji si pitao) svejedno je hoće li se razmatrati u okviru 2. slučaja (pri čemu bi 2. slučaj glasio [inlmath]x\in[0,1][/inlmath] a 3. slučaj glasio [inlmath]x\in(1,+\infty)[/inlmath]), ili će se razmatrati u okviru 3. slučaja (pri čemu bi 2. slučaj glasio [inlmath]x\in[0,1)[/inlmath] a 3. slučaj glasio [inlmath]x\in[1,+\infty)[/inlmath] kao što je Tinker i radio).

Isto tako je [inlmath]x=0[/inlmath] mogao biti razmatran u okviru 1. slučaja, tj. 1. slučaj je mogao da glasi [inlmath]x\in(-\infty,0][/inlmath] a 2. slučaj [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath]. Kažem, potpuno svejedno.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7306
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 18. Oktobar 2018, 04:26 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs