Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Eksponencijalna jednacina

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Eksponencijalna jednacina

Postod Aleksej » Petak, 02. Jun 2017, 12:44

Lijep pozdrav svima!

Evo me jos jednom sa jednim zadatkom koji me muci. Pokusavao sam da se korijena riješim stepenovanjem, ali nakon drugog stepenovanja uvidio sam da to nije ispravno i da se treba jos nesto uciniti. Zadatak je 1087. iz Veneove zbirke zadataka za srednje skole i glasi:
[dispmath]\left(\sqrt{2-\sqrt3}\right)^x+\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^x=4[/dispmath] Poslije prvog stepenovanja dobio sam ovaj rezultat: [inlmath]\left(2-\sqrt3\right)^x+2+\left(2+\sqrt3\right)^x=16[/inlmath] ... Daljim korijenovanjem nisam dobio zeljeni rezultat pa sam tu i stao.
Molim za pomoc!
Aleksej  OFFLINE
 
Postovi: 16
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod razer123 » Petak, 02. Jun 2017, 13:30

Pozdrav, mislim da se svaki ovakav zadatak radi na foru smene da je jedan od ovih [inlmath]t[/inlmath] npr a drugi [inlmath]\frac{1}{t}[/inlmath]. Dokaz za to je proizvod ta dva. Onda dobijes neku kvadratnu jednacinu gde ces imati koren iz kog nemas ceo broj, pa ga navuces na ono sto ti treba a ovde je [inlmath]3[/inlmath]. ( Daniel ce me ubiti zbog latexa) :D I posle samo vratis to [inlmath]t[/inlmath] u smenu, imaces [inlmath]\frac{x}{2}=\text{nesto}[/inlmath].
Poslednji put menjao Daniel dana Subota, 03. Jun 2017, 01:14, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 6 puta

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod miletrans » Petak, 02. Jun 2017, 13:57

Dobro si krenuo da radiš. "Fora sa smenom" koju je pomenuo razer123 direktno proizilazi iz razlike kvadrata:
[dispmath](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/dispmath][dispmath]a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}[/dispmath] U tvom slučaju je [inlmath]a=2[/inlmath], [inlmath]b=\sqrt3[/inlmath]. Smenom jednačinu svodiš na kvadratnu...
Globalni moderator
 
Postovi: 208
Zahvalio se: 21 puta
Pohvaljen: 229 puta

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod Aleksej » Petak, 02. Jun 2017, 18:01

Jos ne razumijem sta mi je smjena? Jer ne mogu nikako da se rijesim ovog eksponenta "[inlmath]x[/inlmath]".. Da li jos jednom trebam kvadrirati jednacinu?
Aleksej  OFFLINE
 
Postovi: 16
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod miletrans » Petak, 02. Jun 2017, 20:08

Kvadriranjem si (pravilno) došao dovde:
[dispmath]\left(2-\sqrt3\right)^x+2+\left(2+\sqrt3\right)^x=16[/dispmath] sada koristimo identitet koji sam ti pomenuo u prethodnom postu:
[dispmath]\left(2-\sqrt3\right)^x+\frac{1}{\left(2-\sqrt3\right)^x}=14[/dispmath] Smena: [inlmath]\left(2-\sqrt3\right)^x=t[/inlmath]:
[dispmath]t+\frac{1}{t}=14[/dispmath] i dalje ne bi trebalo da bude problema. Kada dobiješ dva rešenja po [inlmath]t[/inlmath], vodi računa koje od njih ima smisla, pošto ti je [inlmath]t[/inlmath] pozitivan broj stepenovan na realni eksponent.
Globalni moderator
 
Postovi: 208
Zahvalio se: 21 puta
Pohvaljen: 229 puta

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod Daniel » Subota, 03. Jun 2017, 01:15

razer123 je napisao:( Daniel ce me ubiti zbog latexa) :D

Oprošteno. :D Korigovao sam.

Aleksej je napisao:Poslije prvog stepenovanja dobio sam ovaj rezultat: [inlmath]\left(2-\sqrt3\right)^x+2+\left(2+\sqrt3\right)^x=16[/inlmath]

Ja bih izbegao to kvadriranje, jer bismo nakon njega dobili
miletrans je napisao:Smena: [inlmath]\left(2-\sqrt3\right)^x=t[/inlmath]:
[dispmath]t+\frac{1}{t}=14[/dispmath]

a odatle [inlmath]t_{1,2}=7\pm4\sqrt3[/inlmath] i onda bi nam već trebalo veštine da uočimo da je to zapravo isto što i [inlmath]\left(2\pm\sqrt3\right)^2[/inlmath].

Umesto toga, zar nije elegantnije odmah u početnoj jednačini uvesti smenu [inlmath]\left(\sqrt{2-\sqrt3}\right)^x=t[/inlmath] (ili [inlmath]\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^x=t[/inlmath], potpuno svejedno), odakle bi se dobilo [inlmath]t+\frac{1}{t}=4[/inlmath], iz toga [inlmath]t_{1,2}=2\pm\sqrt3[/inlmath], odakle će rešenja po [inlmath]x[/inlmath] već biti sasvim očigledna?

Preporučujem i bacanje pogleda na ovaj zadatak, sličan je.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7306
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod Aleksej » Četvrtak, 09. Avgust 2018, 23:01

Pozdrav ljudi. Bas sam ovih dana malo aktivniji na ovom sajtu, pa se sjetih ove svoje objave. Gledam je ponovo i nikako da shvatim kako se od [inlmath]\left(2+\sqrt3\right)^x[/inlmath] dobije [inlmath]\frac{1}{\left(2-\sqrt3\right)^x}[/inlmath] Da li mi moze neko dati objasnjenje?
Aleksej  OFFLINE
 
Postovi: 16
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Eksponencijalna jednacina

Postod Aleksej » Petak, 10. Avgust 2018, 00:11

Shvatio sam. Nije potrebno da pojasnite.
Aleksej  OFFLINE
 
Postovi: 16
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 10 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 17. Oktobar 2018, 14:01 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs