Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Jednačina s parametrom – probni prijemni ETF 2018.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Jednačina s parametrom – probni prijemni ETF 2018.

Postod stefannelo » Nedelja, 17. Jun 2018, 19:06

Probni prijemni ispit ETF - 16. jun 2018.
16. zadatak


Tekst je sledeći: Broj svih mogućih vrednosti realnog parametra [inlmath]\alpha\in(-9,9)[/inlmath] za koje jednačina
[dispmath]\log_3\left(4x-4x^2\right)=\left|\sin(\pi x+\alpha)-\frac{1}{2}\right|[/dispmath] ima tačno jedno rešenje jednak je:

Ponuđeni odgovori su [inlmath]A)\;0\enspace[/inlmath] [inlmath]B)\;2\enspace[/inlmath] [inlmath]C)\;4\enspace[/inlmath] [inlmath]D)\;6[/inlmath], a tačan odgovor je [inlmath]6[/inlmath]. Ne znam ni kako da počnem da radim ovaj zadatak, logaritam i ovaj sinus mi baš zadaju glavobolju. Nadam se da može neko da mi pomogne, i da nisam prekršio neko pravilo, Latex je ok ja mislim.
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Jednačina s parametrom – probni prijemni ETF 2018.

Postod Daniel » Nedelja, 17. Jun 2018, 19:31

Sve OK. :thumbup:
Zadatak mi se veoma svideo, zaista je zanimljiv. Odredi kodomene leve i desne strane jednačine. To će ti dosta toga reći... ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7952
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4144 puta
Pohvaljen: 4225 puta

Re: Jednačina s parametrom – probni prijemni ETF 2018.

Postod Marko555 » Nedelja, 17. Jun 2018, 19:41

Moze li ovaj zadatak ipak malo detaljnije?
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Jednačina s parametrom – probni prijemni ETF 2018.

Postod diopo » Nedelja, 17. Jun 2018, 19:43

Bas zanimljiv zadatak.. i ja imam problema oko njega, ali imam ideju, pa cu je izneti ovde da vidim da li moze tako. Ovo me odmah vuce na graficko resavanje, medjutim, bilo mi je komplikovano da nacrtam. Eh sad, ovaj logaritam je zbog domena [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] uvek manji ili jednak nuli. Izraz u apsolutnoj je veci ili jednak nule, te zakljucujemo da ce imati 1 resenje ukoliko su oba izraza jednaka nuli. Izracunamo da je logaritam jednak [inlmath]0[/inlmath] za [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath]. To znaci da ce i druga funkcija (ova u apsolutnoj) biti [inlmath]0[/inlmath] za isto to [inlmath]x[/inlmath]. Kada funkciju sa desne strane izjednacimo sa [inlmath]0[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{1}{2}\\
\alpha=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\hspace{15mm}\lor\hspace{15mm}\alpha=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath] E, sta dalje ? Da li mogu da se posluzim sa [inlmath]\pi\text{ rad}=180^\circ[/inlmath], pa odatle da nadjem kada je [inlmath]\alpha\in(-9,9)[/inlmath] koliko je to ustvari stepeni i onda menjam [inlmath]k[/inlmath] i gledam sta se nalazi u intervalu??
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 57
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 16 puta

Re: Jednačina sa parametrom – probni prijemni ETF 2018.

Postod elektrotehnicar » Ponedeljak, 18. Jun 2018, 11:53

Nazalost nisam stigao da ga uradim na probnom,ali sledeci dan sam krenuo i zapravo i ja sam krenuo tom logikom,da mi je vrednost logaritma 0,jer kad bi bio od 0 do 1 onda bi ovo imalo 2 resenja jer je apsolutna vrednost,a kad bi logaritam imao vrednosr vecu od 1 onda ne bi postojalo resenje,dakleo ovaj izraz kod logaritma treba da je jednak jednak jedinici,gde bi onda x bilo jedna polovina.
Zatim ovaj sin treba da bude 0,pa on postaje sinus od pi pola + alfa,pa je to jednako ili pi kroz 6 ili 5pi kroz 6 naravno u oba slucaja vazi periodicnost +2kpi,zatim kad jednacinu sredite dobijete da je pi puta (1-6k) jednako 3alfa,iz cega se dobije da se pi puta (1-6k) krece od -27 do 27,iz cega se dobiju resenja da je k 0,-1 i 1,jer k mora da bude ceo broj,a kada bi bilo vise od toga,onda ne bi bilo u granici od -27 do 27,tu imate 3 resenja,zatim isto to uradite za 5pi kroz 6 i tu dobijete jos 3 resenja,pa je rezultat 6.
Izvinjavam se jos jednom na ne koriscenju latexa,nov sam ovde,pa jos ne znam da ga koristim,nadam se da je razumljivo,ako nije poslacu vam preko latexa ukoliko zelite
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Jednačina s parametrom – probni prijemni ETF 2018.

Postod Daniel » Utorak, 19. Jun 2018, 15:26

@elektrotehnicar, hvala što si pokušao da pomogneš, i za Latex bih ti progledao kroz prste kao i svakom novom korisniku ukoliko je sve ostalo u redu. Ali, rečenice su ti toliko konfuzne da ja ni nakon nekoliko čitanja nisam siguran šta si tačno želeo da kažeš. Molim te, pre nego što šalješ post, pročitaj lepo sve to što si napisao, stavivši se u poziciju nekog ko to treba da čita (i da razume) i koriguj šta treba.

diopo je napisao:Eh sad, ovaj logaritam je zbog domena [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] uvek manji ili jednak nuli. Izraz u apsolutnoj je veci ili jednak nule, te zakljucujemo da ce imati 1 resenje ukoliko su oba izraza jednaka nuli.

Hajd' da budemo precizni. :) Ja bih to preformulisao ovako: zaključujemo da sigurno nećemo imati nijedno rešenje ukoliko je bar jedan od ta dva izraza različit od nule.
Znači, tek kada su oba izraza jednaka nuli, tada možemo razmatrati mogućnost da ćemo imati tačno jedno rešenje.

diopo je napisao:Izracunamo da je logaritam jednak [inlmath]0[/inlmath] za [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath]. To znaci da ce i druga funkcija (ova u apsolutnoj) biti [inlmath]0[/inlmath] za isto to [inlmath]x[/inlmath].

Isto kao i malopre – bolje bi bilo reći: to znači da i druga funkcija (ova u apsolutnoj) treba da bude [inlmath]0[/inlmath] za isto to [inlmath]x[/inlmath], kako bi uslov zadatka bio zadovoljen.

diopo je napisao:[dispmath]\alpha=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\hspace{15mm}\lor\hspace{15mm}\alpha=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath] E, sta dalje ? Da li mogu da se posluzim sa [inlmath]\pi\text{ rad}=180^\circ[/inlmath], pa odatle da nadjem kada je [inlmath]\alpha\in(-9,9)[/inlmath] koliko je to ustvari stepeni i onda menjam [inlmath]k[/inlmath] i gledam sta se nalazi u intervalu??

Ništa sa stepenima. U tekstu zadatka se nigde ne pominju stepeni, sve je u radijanima.
Ja bih sad postavio nejednačine, na osnovu uslova zadatka [inlmath]\alpha\in(-9,9)[/inlmath]. Za slučaj [inlmath]\alpha=-\frac{\pi}{3}+2k\pi:[/inlmath]
[dispmath]\left.-9<-\frac{\pi}{3}+2k\pi<9\quad\right/:(2\pi)\\
-\frac{9}{2\pi}<-\frac{1}{6}+k<\frac{9}{2\pi}\\
\frac{1}{6}-\frac{9}{2\pi}<k<\frac{1}{6}+\frac{9}{2\pi}[/dispmath] Budući da je [inlmath]k[/inlmath] celobrojno, nije nam potreban kalkulator da bismo odredili između kojih celih brojeva se nalaze leva i desna strana ove nejednakosti. Lako je odrediti da se [inlmath]\frac{1}{6}-\frac{9}{2\pi}[/inlmath] nalazi unutar [inlmath](-2,-1)[/inlmath], a da se [inlmath]\frac{1}{6}+\frac{9}{2\pi}[/inlmath] nalazi unutar [inlmath](1,2)[/inlmath]. Nejednačinu, prema tome, možemo pisati kao
[dispmath]-1\le k\le1[/dispmath] tj. [inlmath]k\in\{-1,0,1\}[/inlmath], čime dobijamo da za ovaj slučaj [inlmath]\alpha[/inlmath] može imati tri vrednosti: [inlmath]\alpha\in\{-\frac{7\pi}{3},-\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\}[/inlmath].
Sad se isto to uradi i za slučaj [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7952
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4144 puta
Pohvaljen: 4225 puta

Re: Jednačina s parametrom – probni prijemni ETF 2018.

Postod elektrotehnicar » Utorak, 19. Jun 2018, 15:50

Upravo to, izvinjavam se jos jednom na konfuznom odgovoru, dodao bih jos da ako neko nije siguran koliko resenja ima i kad ima jedno, moze jednostavno da graficki nacrta, iz toga se jasno vidi da ce imati resenje jedno i to samo u jednoj polovini.
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Jednačina s parametrom – probni prijemni ETF 2018.

Postod StefanJevtic63 » Subota, 07. Mart 2020, 22:53

Pozdrav,
Poceo sam raditi ovaj zadatak i nikako mi nije jasno kako je ovaj logaritam uvek manji ili jednak nuli, kao sto je jedan clan prethodno pomenuo.
diopo je napisao:Eh sad, ovaj logaritam je zbog domena [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] uvek manji ili jednak nuli.

Uradio sam domen logaritma i dobio da je [inlmath]x[/inlmath] vece od nule, a manje od [inlmath]1[/inlmath], sto se naravno podudara sa domenom koji ste prethodno definisali.
Dakle jedina stvar koja me buni jeste vrednost logaritma, odnosno da je on uvek manji ili jednak nuli.
Ako bi neko mogao da mi pojasni, bio bih mu/joj veoma zahvalan. :D
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Jednačina s parametrom – probni prijemni ETF 2018.

Postod Daniel » Nedelja, 08. Mart 2020, 16:32

Za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] izraz [inlmath]4x-4x^2[/inlmath] uvek je [inlmath]\le1[/inlmath].
Za [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath], taj izraz će još biti i pozitivan, tj. pripadaće intervalu [inlmath](0,1][/inlmath]. Samim tim, logaritam tog izraza biće negativan ili nula.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7952
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4144 puta
Pohvaljen: 4225 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 08. April 2020, 03:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs