Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Kvadratna jednačina – odrediti kvadratni koeficijent tako da koreni jednačine pripadaju intervalu...

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Kvadratna jednačina – odrediti kvadratni koeficijent tako da koreni jednačine pripadaju intervalu...

Postod Frank » Četvrtak, 30. Jul 2020, 17:36

Pozdrav! Potrebna mi je pomoć oko sledećeg zadatka:
Neka su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] celi brojevi i [inlmath]a>0[/inlmath]. Ako jednacina [inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath] ima dva različita rešenja u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], dokazati da je [inlmath]a\ge5[/inlmath].
Očigledno je u pitanju kvadratna jednačina. Kako se oba korena nalaze u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath] sledi da je [inlmath]f(0)\cdot f(1)>0[/inlmath], tj. [inlmath]c(a+b+c)>0[/inlmath].
Takodje, moze se zaključiti da proizvod rešenja kvadratne jednačine takođe pripada intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], tj. [inlmath]x_1x_2=\frac{c}{a}[/inlmath], [inlmath]0<\frac{c}{a}<1[/inlmath]. Iz ovog uslova dobijam da je [inlmath]c>0[/inlmath] i [inlmath]c<a[/inlmath].
Iz uslova da se [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena parabole nalazi u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath] nalazim da je [inlmath]b<0[/inlmath] i [inlmath]b>-2a[/inlmath].
Da bi rešenja bila realna i različita postavio sam dodatni uslov [inlmath]b^2-4ac>0[/inlmath].
Koristeči činjenicu da su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] celi brojevi, kombinovao sam ova četiri uslova. Međutim, to me nije odvelo do konačnog rešenja. (BTW Iz ovolikih uslova zaključio sam samo da [inlmath]a[/inlmath] ne može biti [inlmath]1[/inlmath]. :sad3: )
Da li je moj način razmišljanja ispravan i da li postoji neki originalniji put koji vodi do rešenja? Hvala unapred! :)
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 308
Zahvalio se: 144 puta
Pohvaljen: 196 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Kvadratna jednačina – odrediti kvadratni koeficijent tako da koreni jednačine pripadaju intervalu...

Postod Onomatopeja » Subota, 01. Avgust 2020, 16:06

Neka su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] ta dva razlicita resenja. Tada vazi [inlmath]x_1,x_2,1-x_1,1-x_2\in (0,1),[/inlmath] dok nam primena aritmeticko-geometrijske nejednakosti daje
[inlmath]\displaystyle\frac{x_1+1-x_1}{2}\geq \sqrt{x_1(1-x_1)}[/inlmath] (i slicno za [inlmath]x_2[/inlmath]), odnosno [inlmath]\displaystyle x_1(1-x_1)\leq \frac{1}{4}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x_2(1-x_2)\leq \frac{1}{4}.[/inlmath] Pri tome, u bar jednoj od prethodne dve nejednakosti vazi stroga nejednakost. Naime, ako bi vazilo [inlmath]\displaystyle x_1(1-x_1)=\frac{1}{4}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x_2(1-x_2)=\frac14,[/inlmath] tada bi [inlmath]\displaystyle x_1=x_2=\frac{1}{2},[/inlmath] sto nije moguce jer je [inlmath]x_1\neq x_2.[/inlmath] Zato je (mnozeci one dve nejednakosti) [inlmath]\displaystyle x_1x_2(1-(x_1+x_2)+x_1x_2)<\frac{1}{16},[/inlmath] odnosno [inlmath]16c(a+b+c)<a^2[/inlmath](koristeci Vietove formule). Kako je [inlmath]f(0)>0[/inlmath] i [inlmath]f(0)=c\in\mathbb{Z},[/inlmath] to je [inlmath]f(0)\geq 1,[/inlmath] a slicno [inlmath]f(1)>0[/inlmath] i [inlmath]f(1)=a+b+c\in\mathbb{Z},[/inlmath] tj. [inlmath]f(1)\geq 1.[/inlmath] Zato je [inlmath]a^2>16,[/inlmath] odnosno [inlmath]a>4[/inlmath] (tj. [inlmath]a\geq 5[/inlmath] jer [inlmath]a\in\mathbb{Z}[/inlmath]).
 
Postovi: 609
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 583 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 05. Avgust 2020, 15:41 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs