Kasnim 3 godine, al' bolje ikad nego nikad.
Dat je sistem jednacina [inlmath]x+y=2a+1,\;xy=a^2+4a-0,5[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] realan parametar. Ako su resenja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] ovog sistema realni brojevi, onda izraz [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] dostize najmanju vrednost za?
Pretpostavljam da je pitanje za koju vrednost realnog parametra [inlmath]a[/inlmath].
Kada kvadriramo prvu jednakost i drugu pomnožimo sa [inlmath]2[/inlmath] dobićemo:
[dispmath]x^2+2xy+y^2=4a^2+4a+1 \\
2xy=2a^2+8a-1[/dispmath]
Kada oduzmemo drugu od prve dobićemo izraz za koji se traži minimalna vrednost:
[dispmath]x^2+y^2=2a^2-4a+2=2(a^2-2a+1)=2(a-1)^2[/dispmath]
Dakle: [inlmath]x^2+y^2=2(a-1)^2[/inlmath]. Odavde se vidi da se minimalna vrednost ovog izraza dostiže za [inlmath]a=1[/inlmath]. Ali treba pažljivo pročitati zadatak gde piše:
Ako su resenja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] ovog sistema realni brojevi...
Ako bismo uvrstitili [inlmath]a=1[/inlmath] videli bismo da sistem onda ne bi imao realna rešenja. Trebalo je u startu postaviti neki uslov. Ako bismo izrazili [inlmath]y[/inlmath] iz ovog sistema dobili bismo:
Iz prve jednakosti [inlmath]x=2a+1-y[/inlmath] i uvrštavanjem u drugu:
[dispmath](2a+1-y)y=a^2+4a-0,5 \\
-y^2+y(2a+1)-(a^2+4a-0,5)=0[/dispmath]
Odavde izračunamo [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]y_{1/2}=\frac{-(2a+1)\pm \sqrt{(2a+1)^2-4\cdot (a^2+4a-0,5)}}{-2} \\
y_{1/2}=\frac{-(2a+1)\pm \sqrt{4a^2+4a+1-4a^2-16a-2)}}{-2} \\
y_{1/2}=\frac{-(2a+1)\pm \sqrt{3-12a}}{-2}[/dispmath]
Sada posmatramo samo diskriminantu [inlmath]D=3-12a[/inlmath] (slično se dobija i za [inlmath]x[/inlmath]). Dakle, da bi [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] bili
realni brojevi potrebno je da diskriminanta bude veća od nule ili jednaka nuli tj. [inlmath]D\ge 0 \Rightarrow 3-12a\ge 0[/inlmath] odakle se dobija ograničenje:
[dispmath]a\le \frac{1}{4}[/dispmath]
Sada kada pogledamo izraz [inlmath]x^2+y^2=2(a-1)^2[/inlmath], jasno je da se najmanja vrednost izraza dostiže za [inlmath]a=\frac{1}{4}[/inlmath].
Vrlo "podmukao" zadatak.
P. S. Moguće da sam pogrešio, sumnjam da je Daniel ovo propustio.