Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Maksimalna vrednost

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Maksimalna vrednost

Postod kidiko » Nedelja, 06. Jul 2014, 16:51

Jos ova dva zadatka, i to je to od mene, ne smaram vas vise :)

1. Ako je [inlmath]x=\cos\alpha\cos\beta,\;y=\sin\alpha\sin\beta[/inlmath], onda je maksimalna vrednost izraza [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] jednaka?

Pokusam da preko Vijetovih formula [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] izrazim kao [inlmath](x+y)^2 -2xy[/inlmath], i onda samo zamenim i uradim izvod. No, dobijem [inlmath]1,5[/inlmath], a resenje je [inlmath]1[/inlmath].

I drugi je slican:

Dat je sistem jednacina [inlmath]x+y=2a+1,\;xy=a^2+4a-0,5[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] realan parametar. Ako su resenja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] ovog sistema realni brojevi, onda izraz [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] dostize najamnju vrednost za?

Probao sam na slican nacin kao prethodni, ali ne ide. Resenje je [inlmath]0,25[/inlmath] :)
kidiko  OFFLINE
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Maksimalna vrednost

Postod Daniel » Nedelja, 06. Jul 2014, 21:21

Prvi:
[dispmath]x^2+y^2=\cos^2\alpha\cos^2\beta+\sin^2\alpha\sin^2\beta=\cos^2\alpha\cos^2\beta+\left(1-\cos^2\alpha\right)\left(1-\cos^2\beta\right)=[/dispmath]
Uvodimo smene [inlmath]\cos^2\alpha=a,\;\cos^2\beta=b,\;a,b\in\left[0,1\right][/inlmath]
[dispmath]=ab+\left(1-a\right)\left(1-b\right)=\cdots =a\left(b-1\right)+b\left(a-1\right)+1[/dispmath]
Pošto je [inlmath]a\in\left[0,1\right][/inlmath] i [inlmath]b\in\left[0,1\right][/inlmath], biće i [inlmath]a-1\in\left[-1,0\right][/inlmath] i [inlmath]b-1\in\left[-1,0\right][/inlmath], što znači da će sabirci [inlmath]a\left(b-1\right)[/inlmath] i [inlmath]b\left(a-1\right)[/inlmath] biti uvek negativni ili nula. Prema tome, zbir [inlmath]a\left(b-1\right)+b\left(a-1\right)+1[/inlmath] biće maksimalan onda kada su sabirci [inlmath]a\left(b-1\right)[/inlmath] i [inlmath]b\left(a-1\right)[/inlmath] jednaki nulama i ta maksimalna vrednost zbira biće [inlmath]0+0+1[/inlmath], tj. [inlmath]1[/inlmath].

U drugom je rešenje [inlmath]a=1[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Maksimalna vrednost

Postod kidiko » Nedelja, 06. Jul 2014, 21:39

Hvala :)

U drugom i ja dobijem [inlmath]1[/inlmath], ali u zbirci stoji da je resenje [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath], sa sve postupkom kojim su radili i nacrtanim grafikom :/
kidiko  OFFLINE
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Maksimalna vrednost

Postod Daniel » Nedelja, 06. Jul 2014, 23:05

I, uočavaš li grešku u tom njihovom postupku?

Bi li nam pokazao na koji su to način oni radili i dobili [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Maksimalna vrednost

Postod Corba248 » Četvrtak, 13. April 2017, 14:56

Kasnim 3 godine, al' bolje ikad nego nikad. :)
Dat je sistem jednacina [inlmath]x+y=2a+1,\;xy=a^2+4a-0,5[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] realan parametar. Ako su resenja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] ovog sistema realni brojevi, onda izraz [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] dostize najmanju vrednost za?

Pretpostavljam da je pitanje za koju vrednost realnog parametra [inlmath]a[/inlmath].
Kada kvadriramo prvu jednakost i drugu pomnožimo sa [inlmath]2[/inlmath] dobićemo:
[dispmath]x^2+2xy+y^2=4a^2+4a+1 \\
2xy=2a^2+8a-1[/dispmath]
Kada oduzmemo drugu od prve dobićemo izraz za koji se traži minimalna vrednost:
[dispmath]x^2+y^2=2a^2-4a+2=2(a^2-2a+1)=2(a-1)^2[/dispmath]
Dakle: [inlmath]x^2+y^2=2(a-1)^2[/inlmath]. Odavde se vidi da se minimalna vrednost ovog izraza dostiže za [inlmath]a=1[/inlmath]. Ali treba pažljivo pročitati zadatak gde piše:
Ako su resenja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] ovog sistema realni brojevi...

Ako bismo uvrstitili [inlmath]a=1[/inlmath] videli bismo da sistem onda ne bi imao realna rešenja. Trebalo je u startu postaviti neki uslov. Ako bismo izrazili [inlmath]y[/inlmath] iz ovog sistema dobili bismo:
Iz prve jednakosti [inlmath]x=2a+1-y[/inlmath] i uvrštavanjem u drugu:
[dispmath](2a+1-y)y=a^2+4a-0,5 \\
-y^2+y(2a+1)-(a^2+4a-0,5)=0[/dispmath]
Odavde izračunamo [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]y_{1/2}=\frac{-(2a+1)\pm \sqrt{(2a+1)^2-4\cdot (a^2+4a-0,5)}}{-2} \\
y_{1/2}=\frac{-(2a+1)\pm \sqrt{4a^2+4a+1-4a^2-16a-2)}}{-2} \\
y_{1/2}=\frac{-(2a+1)\pm \sqrt{3-12a}}{-2}[/dispmath]
Sada posmatramo samo diskriminantu [inlmath]D=3-12a[/inlmath] (slično se dobija i za [inlmath]x[/inlmath]). Dakle, da bi [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] bili realni brojevi potrebno je da diskriminanta bude veća od nule ili jednaka nuli tj. [inlmath]D\ge 0 \Rightarrow 3-12a\ge 0[/inlmath] odakle se dobija ograničenje:
[dispmath]a\le \frac{1}{4}[/dispmath]
Sada kada pogledamo izraz [inlmath]x^2+y^2=2(a-1)^2[/inlmath], jasno je da se najmanja vrednost izraza dostiže za [inlmath]a=\frac{1}{4}[/inlmath].
Vrlo "podmukao" zadatak. :)

P. S. Moguće da sam pogrešio, sumnjam da je Daniel ovo propustio. :think1:
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

  • +1

Re: Maksimalna vrednost

Postod Daniel » Četvrtak, 13. April 2017, 20:57

Corba248 je napisao:P. S. Moguće da sam pogrešio, sumnjam da je Daniel ovo propustio. :think1:

Nikako ne bi bilo dobro da kad god ja nešto previdim, kao što je ovde bio slučaj, ostali koji dobiju tačno rešenje posumnjaju u njegovu tačnost jer se ne poklapa s mojim. :)
Hvala što si priložio ovo rešenje, koje je, naravno, tačno. :thumbup:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 47 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 21:55 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs