Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Kubne jednačine – formule i rešeni primeri sa objašnjenjima

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Kubne jednačine – formule i rešeni primeri sa objašnjenjima

Postod forzajuve » Ponedeljak, 25. Mart 2013, 20:37

Prvi deo
Prvo što treba da uradimo prilikom rešavanja kubne jednačine jeste da kubnu jednačinu oblika:
[dispmath]ax^3+bx^2+cx+d=0[/dispmath]
svedemo na sledeći oblik:
[dispmath]y^3+py+q=0[/dispmath]
gde [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] imaju sledeću jednakost:
[dispmath]p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}[/dispmath][dispmath]q=\frac{d}{a}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{2b^3}{27a^3}[/dispmath]
Na primer:
[dispmath]x^3+9x^2+18x+28=0[/dispmath]
gde su [inlmath]a=1;\;b=9;\;c=18;\;d=28[/inlmath]

Prvo tražimo [inlmath]p[/inlmath]:
[dispmath]p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}[/dispmath][dispmath]p=\frac{18}{1}-\frac{9^2}{3\left(1^2\right)}[/dispmath]
i dobijamo:
[dispmath]p=-9[/dispmath]
Sada tražimo [inlmath]q[/inlmath]:
[dispmath]q=\frac{d}{a}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{2b^3}{27a^3}[/dispmath][dispmath]q=\frac{28}{1}-\frac{9\cdot18}{3\left(1^2\right)}+\frac{2\cdot\left(9^3\right)}{27\left(1^3\right)}[/dispmath]
i dobijamo:
[dispmath]q=28[/dispmath]
Zatim zamenimo [inlmath]p=-9[/inlmath] i [inlmath]q=28[/inlmath] u jednačinu oblika:
[dispmath]y^3+py+q=0[/dispmath]
i dobijamo:
[dispmath]y^3-9y+28=0[/dispmath]
Kada rešimo ovako izvedenu kubnu jednačinu, dobićemo [inlmath]y_1;y_2;y_3[/inlmath] pa tako dobijena rešenja po [inlmath]y[/inlmath] zamenjujemo u sledeće formule:
[dispmath]x_1=y_1-\frac{b}{3a}[/dispmath][dispmath]x_2=y_2-\frac{b}{3a}[/dispmath][dispmath]x_3=y_3-\frac{b}{3a}[/dispmath]
i dobijamo konačna rešenja ([inlmath]x_1;x_2;x_3[/inlmath]) naše kubne jednačine


Drugi deo
Ukoliko već na početku zadatka imamo jednačinu oblika:
[dispmath]x^3+px+q=0[/dispmath]
onda odmah možemo početi s njenim rešavanjem.

Na primer:
[dispmath]x^3-19x+30=0[/dispmath]
gde su [inlmath]p=-19[/inlmath] i [inlmath]q=30[/inlmath]

Prvo treba da izračunamo diskriminantu ([inlmath]D[/inlmath]):
[dispmath]D=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}[/dispmath][dispmath]D=\frac{30^2}{4}+\frac{(-19)^3}{27}[/dispmath]
i dobijamo da je
[dispmath]D=-29.03703704[/dispmath]
što znači da je
[dispmath]D<0[/dispmath]
Kada je [inlmath]D<0[/inlmath] onda su sva tri rešenja ([inlmath]x_1;x_2;x_3[/inlmath]) naše kubne jednačine realna i različita.

Pošto smo utvrdili da je [inlmath]D<0[/inlmath], primenjujemo trigonometrijski metod rešavanja kubne jednačine (ovaj metod primenjujemo isključivo kada je [inlmath]D<0[/inlmath]).
Prvo tražimo [inlmath]x_1[/inlmath]:
[dispmath]x_1=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\frac{\varphi}{3}[/dispmath]
gde su
[dispmath]\varphi=\mathrm{arctg}\:(\mathrm{tg}\:\varphi)[/dispmath]
i
[dispmath]\mathrm{tg}\:\varphi=-\frac{2\sqrt{-D}}{q}[/dispmath]
gde postoji uslov da se, kada je
[dispmath]\varphi<0[/dispmath]
rešenjima menja znak.

Sada se vraćamo našoj jednačini i računamo:
[dispmath]\mathrm{tg}\:\varphi=-\frac{2\sqrt{-(-29.03703704)}}{30}[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]\mathrm{tg}\:\varphi=-0.359240167[/dispmath]
a odatle i
[dispmath]\varphi=-19.76032666[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\varphi<0[/inlmath]

onda rešenjima naše jednačine ([inlmath]x_1;x_2;x_3[/inlmath]) promenimo znak (negativna rešenja postaju pozitivna, a pozitivna postaju negativna).

Vraćamo se jednačini i računamo [inlmath]x_1[/inlmath]:
[dispmath]x_1=2\sqrt{-\frac{(-19)}{3}}\cos\frac{-19.76032666}{3}[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]x_1=5[/dispmath]
Međutim, pošto je
[dispmath]\varphi<0[/dispmath]
onda je naše [inlmath]x_1[/inlmath] zapravo
[dispmath]x_1=-5[/dispmath]
Sada nam ostaje da nađemo [inlmath]x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3[/inlmath], a to ćemo postići pomocu formula:
[dispmath]x_2=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\frac{\varphi+2\pi}{3}[/dispmath][dispmath]x_3=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\frac{\varphi+4\pi}{3}[/dispmath]
gde je (kao što svi znamo)
[dispmath]\pi=180^\circ[/dispmath]
i na kraju dobijamo
[dispmath]x_2=-2[/dispmath][dispmath]x_3=-3[/dispmath]
Ali, pošto je
[dispmath]\varphi<0[/dispmath]
onda su [inlmath]x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3[/inlmath] zapravo
[dispmath]x_2=2[/dispmath][dispmath]x_3=3[/dispmath]
Tako da su konačna rešenja jednačine
[dispmath]x^3-19x+30=0[/dispmath]
zapravo
[dispmath]x_1=-5[/dispmath][dispmath]x_2=2[/dispmath][dispmath]x_3=3[/dispmath]
Napomena za drugi deo: Obratiti pažnju na imenilac (tj. na [inlmath]q[/inlmath]) kod formule
[dispmath]\mathrm{tg}\:\varphi=-\frac{2\sqrt{-D}}{q}[/dispmath]
Kada postoji takva jednačina (npr. [inlmath]x^3-6x^2+11x-6=0[/inlmath]) kod koje je [inlmath]q=0[/inlmath], imamo deljenje nulom
pa u tom slučaju za vrednost [inlmath]\varphi[/inlmath] uzimamo da je [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], tj.
[dispmath]\varphi=-\frac{\pi}{2}[/dispmath]
ili
[dispmath]\varphi=\frac{\pi}{2}[/dispmath]

Treći deo
Za [inlmath]D=0[/inlmath] i za [inlmath]D>0[/inlmath] koristimo Kardanovu formulu

Kada je [inlmath]D=0[/inlmath] onda su sva tri rešenja ([inlmath]x_1;x_2;x_3[/inlmath]) naše kubne jednačine realna i bar jedno dvostruko.
Primer kubne jednačine za [inlmath]D=0[/inlmath]:
[dispmath]x^3-12x+16=0[/dispmath]
Prvo treba da izračunamo diskriminantu ([inlmath]D[/inlmath]):
[dispmath]D=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}[/dispmath][dispmath]D=\frac{16^2}{4}+\frac{(-12)^3}{27}[/dispmath]
i dobijamo da je
[dispmath]D=0[/dispmath]
Sada računamo [inlmath]x_1[/inlmath] uz pomoć Kardanove formule:
[dispmath]x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}[/dispmath][dispmath]x_1=\sqrt[3]{-\frac{16}{2}+\sqrt{\frac{16^2}{4}+\frac{(-12)^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{16}{2}-\sqrt{\frac{16^2}{4}+\frac{(-12)^3}{27}}}[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]x_1=-4[/dispmath]
Sada računamo [inlmath]x_2[/inlmath]:
[dispmath]x_2=\varepsilon\alpha+\varepsilon^2\beta[/dispmath]
gde su
[dispmath]\alpha=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}[/dispmath][dispmath]\beta=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}[/dispmath][dispmath]\varepsilon=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i[/dispmath][dispmath]\varepsilon^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i[/dispmath]
Kada zamenimo vrednosti, dobijamo:
[dispmath]\alpha=-2[/dispmath][dispmath]\beta=-2[/dispmath]
pa sledi
[dispmath]x_2=\varepsilon\alpha+\varepsilon^2\beta[/dispmath][dispmath]x_2=\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i\right)(-2)+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i\right)(-2)[/dispmath][dispmath]x_2=1-i\sqrt 3+1+i\sqrt 3[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]x_2=2[/dispmath]
Prelazimo na [inlmath]x_3[/inlmath]:
[dispmath]x_3=\varepsilon^2\alpha+\varepsilon\beta[/dispmath][dispmath]x_3=\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i\right)(-2)+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i\right)(-2)[/dispmath][dispmath]x_3=1+i\sqrt 3+1-i\sqrt 3[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]x_3=2[/dispmath]
Tako da su konačna rešenja jednačine
[dispmath]x^3-12x+16=0[/dispmath]
zapravo
[dispmath]x_1=-4[/dispmath][dispmath]x_2=x_3=2[/dispmath]

Četvrti deo
Kada je [inlmath]D>0[/inlmath] onda je jedno rešenje ([inlmath]x_1[/inlmath]) naše kubne jednačine realno, a dva rešenja ([inlmath]x_2;x_3[/inlmath]) konjugovano-kompleksna.
Primer kubne jednačine za [inlmath]D>0[/inlmath]:
[dispmath]x^3-6x-9=0[/dispmath]
Prvo treba da izračunamo diskriminantu ([inlmath]D[/inlmath]):
[dispmath]D=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}[/dispmath][dispmath]D=\frac{(-9)^2}{4}+\frac{(-6)^3}{27}[/dispmath]
i dobijamo da je
[dispmath]D=12.25[/dispmath]
što znači da je
[dispmath]D>0[/dispmath]
Sada rešavamo [inlmath]x_1[/inlmath]:
[dispmath]x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}[/dispmath][dispmath]x_1=\sqrt[3]{-\frac{(-9)}{2}+\sqrt{\frac{(-9)^2}{4}+\frac{(-6)^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{(-9)}{2}-\sqrt{\frac{(-9)^2}{4}+\frac{(-6)^3}{27}}}[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]x_1=3[/dispmath]
Sada računamo [inlmath]x_2[/inlmath]:
[dispmath]x_2=\varepsilon\alpha+\varepsilon^2\beta[/dispmath]
gde su
[dispmath]\alpha=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}[/dispmath][dispmath]\beta=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}[/dispmath][dispmath]\varepsilon=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i[/dispmath][dispmath]\varepsilon^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i[/dispmath]
Kada zamenimo vrednosti, dobijamo:
[dispmath]\alpha=2[/dispmath][dispmath]\beta=1[/dispmath]
pa sledi
[dispmath]x_2=\varepsilon\alpha+\varepsilon^2\beta[/dispmath][dispmath]x_2=\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i\right)(2)+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i\right)(1)[/dispmath][dispmath]x_2=-1+i\sqrt 3-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]x_2=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i[/dispmath]
Prelazimo na [inlmath]x_3[/inlmath]:
[dispmath]x_3=\varepsilon^2\alpha+\varepsilon\beta[/dispmath][dispmath]x_3=\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i\right)(2)+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i\right)(1)[/dispmath][dispmath]x_3=-1-i\sqrt 3-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]x_3=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i[/dispmath]
Tako da su konačna rešenja jednačine
[dispmath]x^3-6x-9=0[/dispmath]
zapravo
[dispmath]x_1=3[/dispmath][dispmath]x_2=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i[/dispmath][dispmath]x_3=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i[/dispmath]

Peti deo
Sada ću u potpunosti rešiti jednu kubnu jednačinu oblika:
[dispmath]ax^3+bx^2+cx+d=0[/dispmath]
Kubna jednačina (s pocetka):
[dispmath]x^3+9x^2+18x+28=0[/dispmath]
kada je svedemo na oblik:
[dispmath]y^3+py+q=0[/dispmath]
dobijamo
[dispmath]y^3-9y+28=0[/dispmath]
Sada tražimo diskriminantu ([inlmath]D[/inlmath]):
[dispmath]D=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}[/dispmath]
i kada zamenimo [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath], dobijamo
[dispmath]D=169[/dispmath]
što znači da je
[dispmath]D>0[/dispmath]
Sada pomoću Kardanove formule rešavamo po [inlmath]y_1;y_2;y_3[/inlmath]:
[dispmath]y_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}[/dispmath][dispmath]y_1=\sqrt[3]{-\frac{28}{2}+\sqrt{\frac{28^2}{4}+\frac{(-9)^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{28}{2}-\sqrt{\frac{28^2}{4}+\frac{(-9)^3}{27}}}[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]y_1=-4[/dispmath]
Da bismo dobili prvo rešenje ([inlmath]x_1[/inlmath]) naše kubne jednačine, koristimo sledeću formulu:
[dispmath]x_1=y_1-\frac{b}{3a}[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]x_1=-7[/dispmath]
Sada rešavamo [inlmath]y_2[/inlmath]:
[dispmath]y_2=\varepsilon\alpha+\varepsilon^2\beta[/dispmath]
gde su
[dispmath]\alpha=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}[/dispmath][dispmath]\beta=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}[/dispmath][dispmath]\varepsilon=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i[/dispmath][dispmath]\varepsilon^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i[/dispmath]
Kada zamenimo vrednosti, dobijamo:
[dispmath]\alpha=-1[/dispmath][dispmath]\beta=-3[/dispmath]
pa sledi
[dispmath]y_2=\varepsilon\alpha+\varepsilon^2\beta[/dispmath][dispmath]y_2=\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i\right)(-1)+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i\right)(-3)[/dispmath][dispmath]y_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i+\frac{3}{2}+\frac{3{\sqrt 3}}{2}i[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]y_2=2+i\sqrt 3[/dispmath]
Da bismo dobili drugo rešenje ([inlmath]x_2[/inlmath]) naše kubne jednačine, koristimo sledeću formulu:
[dispmath]x_2=y_2-\frac{b}{3a}[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]x_2=-1+i\sqrt 3[/dispmath]
Sada rešavamo [inlmath]y_3[/inlmath]:
[dispmath]y_3=\varepsilon^2\alpha+\varepsilon\beta[/dispmath][dispmath]y_3=\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i\right)(-1)+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i\right)(-3)[/dispmath][dispmath]y_3=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i+\frac{3}{2}-\frac{3{\sqrt 3}}{2}i[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]y_3=2-i\sqrt 3[/dispmath]
Da bismo dobili treće rešenje ([inlmath]x_3[/inlmath]) naše kubne jednačine, koristimo sledeću formulu:
[dispmath]x_3=y_3-\frac{b}{3a}[/dispmath]
i dobijamo
[dispmath]x_3=-1-i\sqrt 3[/dispmath]
Konačna rešenja naše jednačine
[dispmath]x^3+9x^2+18x+28=0[/dispmath]
su:
[dispmath]x_1=-7[/dispmath][dispmath]x_2=-1+i\sqrt 3[/dispmath][dispmath]x_3=-1-i\sqrt 3[/dispmath]

Šesti deo
Na kraju, možete pogledati i kalkulator za rešavanje kubne jednačine, koji je perfektno odrađen od strane našeg admina Daniela.
Korisnikov avatar
 
Postovi: 130
Zahvalio se: 115 puta
Pohvaljen: 101 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 19 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 16. Septembar 2019, 17:18 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs