Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Realna rešenja jednačine

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Realna rešenja jednačine

Postod Uroš » Sreda, 30. Decembar 2015, 12:37

Pozdrav svima! Ovaj zadatak je bio 20. zadatak na prijemnom ispitu za Elektrotehnički fakultet 2015. godine.

20. Sva realna rešenja jednačine
[dispmath]\frac{x+\sqrt3}{\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt3}}+\frac{x-\sqrt3}{\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt3}}=\sqrt{x}[/dispmath]
nalaze se u skupu:
[inlmath](A)\;[\sqrt{3},2\sqrt{3})\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;(2\sqrt{3},3\sqrt{3})\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;[3\sqrt{3},6)\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;[6,8)[/inlmath] [inlmath](E)\;\emptyset\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

Tačan odgovor je pod [inlmath](A)[/inlmath].

Probao sam da dovedem na najmanji zajednički sadržalac, kao i da kvadriram celu jednačinu, ali u oba slučaja sam dobio komplikovane izraze, koje nisam znao da rešim.
Uroš  OFFLINE
 
Postovi: 36
Zahvalio se: 39 puta
Pohvaljen: 13 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Realna rešenja jednačine

Postod Daniel » Sreda, 30. Decembar 2015, 12:53

Racionališi svaki od ta dva razlomka – znači, prvi pomnoži sa [inlmath]\displaystyle\frac{\sqrt x-\sqrt{x+\sqrt3}}{\sqrt x-\sqrt{x+\sqrt3}}[/inlmath]. Slično i za drugi. To je put koji vodi do rešenja.

Naravno, nemoj zaboraviti da na samom početku postaviš uslov definisanosti (nenegativnost potkorenih veličina), kako bi na kraju odbacio ona rešenja koja taj uslov ne zadovoljavaju.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7774
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta

  • +1

Re: Realna rešenja jednačine

Postod bobanex » Sreda, 30. Decembar 2015, 17:44

Dobićeš na kraju [inlmath]x^2-4=0[/inlmath], naravno samo je [inlmath]x=2[/inlmath] rešenje.
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 488
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 496 puta

Re: Realna rešenja jednačine

Postod Herien Wolf » Četvrtak, 31. Decembar 2015, 08:00

Pokusao sam da uradim ovaj zadatak i stizem do ovog koraka [inlmath]\sqrt{x+\sqrt3}\left(x+\sqrt3\right)+\sqrt{x-\sqrt3}\left(x-\sqrt3\right)=3\sqrt{3x}[/inlmath], zanima me da li sam na pravom putu?
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 212 puta

  • +1

Re: Realna rešenja jednačine

Postod Daniel » Četvrtak, 31. Decembar 2015, 10:18

Jašta. :thumbup:
Sad kvadriraš obe strane, što ovde smemo da uradimo jer su obe strane nenegativne, tako da kvadriranjem ne treba da brinemo da će doći do gubljenja informacija o znaku leve i desne strane – za desnu stranu se odmah vidi da je nenegativna (kvadratni koren ne može dati negativnu vrednost), a i na levoj su oba sabirka nenegativna s obzirom na opseg vrednosti koje [inlmath]x[/inlmath] mora da ima da bi početna jednačina bila definisana (to je onaj uslov koji smo postavili na samom početku).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7774
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta

  • +1

Re: Realna rešenja jednačine

Postod Herien Wolf » Četvrtak, 31. Decembar 2015, 11:32

Uspeo sam da ga uradim, samo treba pazljivo kvadrirati i vecina se krati posle.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 212 puta

Re: Realna rešenja jednačine

Postod Uroš » Četvrtak, 31. Decembar 2015, 11:42

@Daniel Hvala na ideji, mora da sam negde pogrešio (ah, ta brzopletost...).
Uroš  OFFLINE
 
Postovi: 36
Zahvalio se: 39 puta
Pohvaljen: 13 puta

Re: Realna rešenja jednačine

Postod Bakii » Četvrtak, 16. Jun 2016, 15:55

Pozdrav treba mi pomoc oko ovog zadatka. Nakon racionalisanja ispod razlomacke crte dobio sam [inlmath]\sqrt3[/inlmath] sto sam racionalisao jos jednom i dobio:
[dispmath]x\cdot\sqrt3\cdot\sqrt{x-\sqrt3}+x\cdot\sqrt3\cdot\sqrt{x+\sqrt3}-6\cdot\sqrt{x}-3\cdot\sqrt{x-\sqrt3}+3\sqrt{x+\sqrt3}=3\sqrt{x}[/dispmath]
Dalje ne znam sta treba :facepalm:
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 17. Jun 2016, 08:07, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latex-koda – umesto * stavljena komanda \cdot
Bakii  OFFLINE
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Realna rešenja jednačine

Postod Daniel » Petak, 17. Jun 2016, 08:07

Nije trebalo sve to da izmnožiš. Ovako si na levoj strani dobio četiri sabirka s kvadratnim korenima, što otežava rešavanje jednačine.
Umesto toga, kad si došao do koraka
[dispmath]\left(x-\sqrt3\right)\left(\sqrt x+\sqrt{x-\sqrt3}\right)-\left(x+\sqrt3\right)\left(\sqrt x-\sqrt{x+\sqrt3}\right)=\sqrt{3x}[/dispmath]
izmnožiš to na sledeći način:
[dispmath]\cancel{x\sqrt x}-\sqrt{3x}+\left(x-\sqrt3\right)\sqrt{x-\sqrt3}-\cancel{x\sqrt x}-\sqrt{3x}+\left(x+\sqrt3\right)\sqrt{x+\sqrt3}=\sqrt{3x}[/dispmath]
Dakle, ne rastavljaš ove sabirke koji sadrže korene.
I, nakon prelaska dva sabirka [inlmath]\sqrt{3x}[/inlmath] na desnu stranu,
[dispmath]\left(x-\sqrt3\right)\sqrt{x-\sqrt3}+\left(x+\sqrt3\right)\sqrt{x+\sqrt3}=3\sqrt{3x}[/dispmath]
što je oblik do kojeg je i Herien Wolf došao, a koji je lakši za rešavanje, jer na levoj strani nemamo četiri sabirka s korenima, već dva. Dalje postupiš po instrukcijama koje sam dao Wolfu. Naravno, slobodno pitaj ako negde zapne.

P.S. Uneh ti malu korekciju u Latex – za množenje umesto * treba koristiti komandu \cdot, koja prikazuje tačku.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7774
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 7 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 09. Decembar 2019, 09:21 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs