Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Eksponencijalna jednacina 3^x+4^x=5^x

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Eksponencijalna jednacina 3^x+4^x=5^x

Postod JohnLocke » Ponedeljak, 21. Mart 2016, 19:19

kratka i jasna:
[dispmath]3^x+4^x=5^x[/dispmath] radio sam je odavno..al sad blokada, ni da pocnem
 
Postovi: 90
Zahvalio se: 63 puta
Pohvaljen: 12 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Eksponencijalna jednacina 3^x+4^x=5^x

Postod Ilija » Ponedeljak, 21. Mart 2016, 20:02

Graficki, najlakse. A, ovde je resenje vise nego ocigledno [inlmath]x=2[/inlmath].

skica.png
skica.png (6.83 KiB) Pogledano 868 puta
Poslednji put menjao Ilija dana Ponedeljak, 21. Mart 2016, 20:11, izmenjena samo jedanput
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Eksponencijalna jednacina 3^x+4^x=5^x

Postod Miladin Jovic » Ponedeljak, 21. Mart 2016, 20:05

Rešenje je [inlmath]x=2[/inlmath]. Ovo je zapravo Pitagorina teorema "karakterističnog" pravouglog trougla kod koga dužine stranica čine skup od tri uzastopna broja (čak mislim da je to jedini pravougli trougao kod koga važi navedena osobina, ali nisam sasvim siguran).
I mene bi zanimalo kako ide analitički postupak rešavanja (ako uopšte postoji).
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 371
Zahvalio se: 243 puta
Pohvaljen: 125 puta

Re: Eksponencijalna jednacina 3^x+4^x=5^x

Postod Onomatopeja » Ponedeljak, 21. Mart 2016, 20:28

Mozda je graficki najlakse utvrditi da nema drugih resenja sem [inlmath]x=2[/inlmath], no treba biti i vican pa nacrtati ove funkcije (tj. levu i desnu stranu jednakosti). Umesto toga, primetimo kako je [inlmath]5^x=e^{x\ln5}\neq0[/inlmath], to mozemo nasu jednacinu podeliti sa [inlmath]5^x[/inlmath] i time je svesti na
[dispmath]{\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)}^{\!\!\:\!\:\!\large x}+{\Bigl(\frac{4}{5}\Bigr)}^{\!\!\:\!\:\!\large x}=1.[/dispmath] Sada je „samo“ potrebno primetiti kakve su funkcije sa leve i desne strane sto se tice monotonosti, odakle ce odmah slediti da ako postoji resenje (a videli smo da postoji) da ono mora biti jedinstveno.
 
Postovi: 598
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 565 puta

Re: Eksponencijalna jednacina 3^x+4^x=5^x

Postod JohnLocke » Ponedeljak, 21. Mart 2016, 20:39

Dzabe kad ja ne znam kako da predstavim graficki :facepalm:
Miladinovo resenje mi je poznato.. Pitagora.. to je to. Takodje i mene bi zanimao postupak ako postoji za ovakav tip jednacine
 
Postovi: 90
Zahvalio se: 63 puta
Pohvaljen: 12 puta

  • +1

Re: Eksponencijalna jednacina 3^x+4^x=5^x

Postod Ilija » Ponedeljak, 21. Mart 2016, 20:44

Onomatopeja je napisao:Mozda je graficki najlakse utvrditi da nema drugih resenja sem [inlmath]x=2[/inlmath], no treba biti i vican pa nacrtati ove funkcije (tj. levu i desnu stranu jednakosti).

Zaista ne znam kakva vicnost treba da se nacrtaju dve obicne eksponencijalne funkcije. Jedino sto kod crtanja ova dva grafika moze biti problem, je to da ako se crta na belom papiru (bez linija ili kvadratica) i bez lenjira (sto je slucaj na prijemnom ispitu), ali opet nije ovo nesto pretesko za crtanje. Bar meni nije. Mada sumnjam da bi ovo i palo na nekom prijemnom, jer je resenje ocigledno. :D

Mislim, suvise je ovo jednostavan zadatak da bi se komplikovalo nekim analitickim postupkom, ukoliko postoji.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Eksponencijalna jednacina 3^x+4^x=5^x

Postod desideri » Ponedeljak, 21. Mart 2016, 21:18

Ovo:
[dispmath]3^x+4^x=5^x[/dispmath] Ne pije vodu za [inlmath]x<2[/inlmath] niti za [inlmath]x>2[/inlmath] što ću i dokazati kada nađem vremena.
Ostaje samo [inlmath]x=2[/inlmath].
Kolega Onomatopeja je 100% u pravu.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1519
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1088 puta
Pohvaljen: 837 puta

Re: Eksponencijalna jednacina 3^x+4^x=5^x

Postod Daniel » Utorak, 22. Mart 2016, 19:52

Ilija je napisao:
Onomatopeja je napisao:Mozda je graficki najlakse utvrditi da nema drugih resenja sem [inlmath]x=2[/inlmath], no treba biti i vican pa nacrtati ove funkcije (tj. levu i desnu stranu jednakosti).

Zaista ne znam kakva vicnost treba da se nacrtaju dve obicne eksponencijalne funkcije.

Ovo na levoj strani jednačine, [inlmath]3^x+4^x[/inlmath], nije obična eksponencijalna funkcija, već je to zbir dve eksponencijalne funkcije i tu bih se složio s Onomatopejom da crtanje takve funkcije (pri čemu je potrebno još i potrefiti njen oblik u odnosu na funkciju [inlmath]5^x[/inlmath]) ne spada u baš elementarne stvari. :)

Međutim, ako želimo da rešavamo grafički, možemo (što je Onomatopeja već i uradio) podeliti obe strane sa [inlmath]5^x[/inlmath] i dobiti, dakle,
[dispmath]\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{4}{5}\right)^x=1[/dispmath] pri čemu je način koji je Onomatopeja dalje pokazao zaista, po meni, najjednostavniji mogući, ali ako želimo grafički, tada jedan od ova dva sabirka na levoj strani prebacimo na desnu,
[dispmath]\left(\frac{3}{5}\right)^x=1-\left(\frac{4}{5}\right)^x[/dispmath] i ovo je sad daleko jednostavnije za crtanje grafika nego onaj početni oblik jednačine. Funkciju na levoj strani, [inlmath]\displaystyle\left(\frac{3}{5}\right)^x[/inlmath], nije problem nacrtati, a što se tiče funkcije na desnoj strani, znamo kako bi izgledao grafik funkcije [inlmath]\displaystyle f_1\left(x\right)=\left(\frac{4}{5}\right)^x[/inlmath], zatim znamo da bi grafik funkcije [inlmath]\displaystyle f_2\left(x\right)=-\left(\frac{4}{5}\right)^x=-f_1\left(x\right)[/inlmath] bio lik u ogledalu grafika [inlmath]f_1\left(x\right)[/inlmath] u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, dok bi grafik funkcije [inlmath]\displaystyle f_3\left(x\right)=1-\left(\frac{4}{5}\right)^x=f_2\left(x\right)+1[/inlmath] bio u odnosu na grafik [inlmath]f_2\left(x\right)[/inlmath] pomeren prema gore za [inlmath]1[/inlmath].

Nakon skiciranja oba grafika (i za levu i za desnu stranu) biće jasno da oni imaju presečnu tačku u prvom kvadrantu, što znači da jednačina ima samo jedno rešenje i da je to rešenje pozitivno.

Pošto je [inlmath]x=2[/inlmath] očigledno rešenje ove jednačine, ovime je dokazano da drugo rešenje ne postoji.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7779
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

Re: Eksponencijalna jednacina 3^x+4^x=5^x

Postod bobanex » Nedelja, 27. Mart 2016, 00:15

Ja sam taj zadatak imao na opštinskom takmičenju :) i ne znam kako ga se sećam jer je to bilo 92-e otprilike.
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 488
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 496 puta

  • +1

Re: Eksponencijalna jednacina 3^x+4^x=5^x

Postod Daniel » Nedelja, 28. Jul 2019, 14:26

Ilija je napisao:Mada sumnjam da bi ovo i palo na nekom prijemnom, jer je resenje ocigledno. :D

Verovao ili ne – „palo“ je. I to, ni manje ni više, nego na prijemnom za ETF.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7779
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

Sledeća

Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 14. Decembar 2019, 04:13 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs