Ilija je napisao:Onomatopeja je napisao:Mozda je graficki najlakse utvrditi da nema drugih resenja sem [inlmath]x=2[/inlmath], no treba biti i vican pa nacrtati ove funkcije (tj. levu i desnu stranu jednakosti).
Zaista ne znam kakva vicnost treba da se nacrtaju dve obicne eksponencijalne funkcije.
Ovo na levoj strani jednačine, [inlmath]3^x+4^x[/inlmath], nije obična eksponencijalna funkcija, već je to zbir dve eksponencijalne funkcije i tu bih se složio s Onomatopejom da crtanje takve funkcije (pri čemu je potrebno još i potrefiti njen oblik u odnosu na funkciju [inlmath]5^x[/inlmath]) ne spada u baš elementarne stvari.
Međutim, ako želimo da rešavamo grafički, možemo (što je Onomatopeja već i uradio) podeliti obe strane sa [inlmath]5^x[/inlmath] i dobiti, dakle,
[dispmath]\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{4}{5}\right)^x=1[/dispmath] pri čemu je način koji je Onomatopeja dalje pokazao zaista, po meni, najjednostavniji mogući, ali ako želimo grafički, tada jedan od ova dva sabirka na levoj strani prebacimo na desnu,
[dispmath]\left(\frac{3}{5}\right)^x=1-\left(\frac{4}{5}\right)^x[/dispmath] i ovo je sad daleko jednostavnije za crtanje grafika nego onaj početni oblik jednačine. Funkciju na levoj strani, [inlmath]\displaystyle\left(\frac{3}{5}\right)^x[/inlmath], nije problem nacrtati, a što se tiče funkcije na desnoj strani, znamo kako bi izgledao grafik funkcije [inlmath]\displaystyle f_1\left(x\right)=\left(\frac{4}{5}\right)^x[/inlmath], zatim znamo da bi grafik funkcije [inlmath]\displaystyle f_2\left(x\right)=-\left(\frac{4}{5}\right)^x=-f_1\left(x\right)[/inlmath] bio lik u ogledalu grafika [inlmath]f_1\left(x\right)[/inlmath] u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, dok bi grafik funkcije [inlmath]\displaystyle f_3\left(x\right)=1-\left(\frac{4}{5}\right)^x=f_2\left(x\right)+1[/inlmath] bio u odnosu na grafik [inlmath]f_2\left(x\right)[/inlmath] pomeren prema gore za [inlmath]1[/inlmath].
Nakon skiciranja oba grafika (i za levu i za desnu stranu) biće jasno da oni imaju presečnu tačku u prvom kvadrantu, što znači da jednačina ima samo jedno rešenje i da je to rešenje pozitivno.
Pošto je [inlmath]x=2[/inlmath] očigledno rešenje ove jednačine, ovime je dokazano da drugo rešenje ne postoji.