Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Sistem eksponencijalnih jednačina

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Sistem eksponencijalnih jednačina

Postod extremesportist » Subota, 25. Jun 2016, 10:02

Prijemni ispit ETF - 26. jun 2009.
13. zadatak


Koji je broj realnih rešenja sistema jednačina [inlmath]x^{y+4x}=y^{5\left(y-\frac{x}{3}\right)}[/inlmath], [inlmath]x^3=y^{-1}[/inlmath]?
Konačan rezultat je [inlmath]2[/inlmath].

Probao sam da iz druge jednaćine izrazim jednu promenljivu i zatim to da uvrstim u prvu, ali dobio sam prilično komplikovan izraz. Postoji li neko jednostavnije rešenje?

Hvala unapred
Poslednji put menjao Daniel dana Subota, 25. Jun 2016, 10:10, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodata infomacija o izvoru zadatka, kao i rezultat koji treba da se dobije
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 13 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Sistem eksponencijalnih jednačina

Postod jovanmilic97 » Subota, 25. Jun 2016, 10:40

Jedan skup ce ti biti sto posto [inlmath](1,1)[/inlmath]. [inlmath]1[/inlmath] na bilo koji stepen daje opet [inlmath]1[/inlmath], sto zadovoljava drugu jednacinu.
A za drugi sam mislio da se izjednace stepeni prve i druge jednacine? Da li to moze Daniele? :D
 
Postovi: 45
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 30 puta

Re: Sistem eksponencijalnih jednačina

Postod pentagram142857 » Nedelja, 26. Jun 2016, 09:34

Drugu jednacinu stepenujes sa [inlmath]5\left(y-\frac{x}{3}\right)[/inlmath], dobije se:
[dispmath]y^{5\left(y-\frac{x}{3}\right)}=x^{-15\left(y-\frac{x}{3}\right)}[/dispmath]
Kad ovo uporedis sa prvom jednacinom:
[dispmath]x^{y+4x}=x^{-15\left(y-\frac{x}{3}\right)}\\
y+4x=-15\left(y-\frac{x}{3}\right)\\
\vdots\\
y=\frac{x}{16}[/dispmath]
Ovo poslednje sto sam napisao se uvede kao smena u jednacinu [inlmath]y=x^{-3}[/inlmath]
[dispmath]x^{-3}=\frac{x}{16}\\
\vdots[/dispmath]
[inlmath]x=2\ldots[/inlmath] (prazan prostor) [inlmath]\ldots y=\frac{1}{8}[/inlmath]
Ovo je drugo resenje, a prvo je [inlmath](1,1)[/inlmath] kao sto je jovanmilic97 rekao.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 49 puta
Pohvaljen: 120 puta

Re: Sistem eksponencijalnih jednačina

Postod Daniel » Nedelja, 26. Jun 2016, 11:49

jovanmilic97 je napisao:A za drugi sam mislio da se izjednace stepeni prve i druge jednacine? Da li to moze Daniele? :D

Misliš, da se izjednače eksponenti? Ne može, jer bi po toj logici, na osnovu sledeće dve jednakosti,
[inlmath]2^4=4^2\\
2^8=4^4[/inlmath]
koje su obe tačne, mogao izjednačavanjem eksponenata da dođeš do zaključka da je [inlmath]4=8[/inlmath] i da je [inlmath]2=4[/inlmath].

pentagram142857 je napisao:[dispmath]x^{-3}=\frac{x}{16}\\
\vdots[/dispmath]
[inlmath]x=2\ldots[/inlmath] (prazan prostor) [inlmath]\ldots y=\frac{1}{8}[/inlmath]

Dobije se još i rešenje [inlmath]x=-2[/inlmath], ali se može pokazati da to rešenje otpada.



Kod ovakvih eksponencijalnih jednačina postoje još i specijalni slučajevi kada mogu biti zadovoljene, i sve te slučajeve treba razmotriti.
  • [inlmath]1^x=1^y,\;x,y\in\mathbb{R}[/inlmath] (jedinica na bilo koji stepen je jedinica); (jovanmilic97 je ovo rešenje već naveo)
  • [inlmath]0^x=0^y,\;x,y\in\mathbb{R}^+[/inlmath] (nula na bilo koji pozitivan stepen je nula);
  • [inlmath](-1)^x=1^y,\;x=2k\;(k\in\mathbb{Z}),\;y\in\mathbb{R}[/inlmath] ([inlmath]-1[/inlmath] na bilo koji paran stepen je jedinica);
  • [inlmath](-1)^x=(-1)^y,\;x=2k\;(k\in\mathbb{Z}),\;y=2l\;(l\in\mathbb{Z})[/inlmath] (takođe);
  • [inlmath](-1)^x=(-1)^y,\;x=2k+1\;(k\in\mathbb{Z}),\;y=2l+1\;(l\in\mathbb{Z})[/inlmath] ([inlmath]-1[/inlmath] na bilo koji neparan stepen je [inlmath]-1[/inlmath]);
  • [inlmath](-a)^x=a^x,\;a\in\mathbb{R}^+,\;x=2k\;(k\in\mathbb{Z})[/inlmath] (bilo koji negativan broj na parni stepen daje pozitivan broj, isti koji bismo dobili i da smo apsolutnu vrednost prvobitog broja digli na isti taj stepen, npr. [inlmath](-3)^2=9=3^2[/inlmath]);
  • [inlmath]x^0=y^0,\;x,y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/inlmath] (bilo koji realan broj, osim nule, dignut na nulti stepen daje jedinicu – mada ima autora koji tvrde da je čak i [inlmath]0^0[/inlmath] jednako jedinici)

Nešto slično smo imali i u ovom zadatku.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 33 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 06:11 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs