Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Sistem nejednačina s apsolutnim vrednostima

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Sistem nejednačina s apsolutnim vrednostima

Postod extremesportist » Nedelja, 26. Jun 2016, 14:31

Prijemni ispit ETF - 2015
11. zadatak:


Ukupan broj parova celih brojeva [inlmath](x,y)[/inlmath] takvih da važi [inlmath]\left|x^2-2x\right|-y<\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]y+|x-1|<2[/inlmath] je:

Rešenje: [inlmath]3[/inlmath]

Prva ideja mi je bila da razmatram slučajeve za svaki izraz sa apsolutnim vrednostima i potom za svaki od tih slučajeva nađem [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], ali na taj način zadatak se previše zakomplikuje. Postoji li jednostavniji način?

Hvala unapred
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 12 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Sistem nejednačina s apsolutnim vrednostima

Postod Ilija » Nedelja, 26. Jun 2016, 14:37

Najlakse ti je nacrtati grafike, i onda posmatras prostor izmedju ta dva grafika. Videces da u tom prostoru izmedju njih imas tri para celih brojeva [inlmath](x,y)[/inlmath] - to jednostavno ocitas, jer se radi o celim brojevima.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Sistem nejednačina s apsolutnim vrednostima

Postod Ilija » Nedelja, 26. Jun 2016, 14:49

Evo i skice, ako zatreba:

skica.png
skica.png (13.59 KiB) Pogledano 735 puta
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Sistem nejednačina s apsolutnim vrednostima

Postod Daniel » Nedelja, 26. Jun 2016, 15:34

Ovaj zadatak nije teško rešiti ni analitičkim putem. Na osnovu prve nejednačine imamo [inlmath]\left|x^2-2x\right|<y+\frac{1}{2}[/inlmath], a pošto je leva strana [inlmath]\ge0[/inlmath], desna mora biti strogo veća od nule, tj. [inlmath]y+\frac{1}{2}>0[/inlmath], tj. [inlmath]y>-\frac{1}{2}[/inlmath], a pošto je [inlmath]y[/inlmath] ceo broj, sledi [inlmath]y\ge0[/inlmath]. Isto tako, iz druge nejednačine imamo [inlmath]\left|x-1\right|<2-y[/inlmath], pa je po istom rezonu [inlmath]2-y>0[/inlmath], tj. [inlmath]y<2[/inlmath], a pošto je [inlmath]y[/inlmath] ceo broj sledi [inlmath]y\le1[/inlmath].

Znači, već smo ovime broj mogućih vrednosti za [inlmath]y[/inlmath] suzili na [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].
Time smo dobili dva slučaja:
[inlmath]I[/inlmath] slučaj [inlmath]y=0[/inlmath] (uvrstimo [inlmath]y=0[/inlmath] u dati sistem nejednačina):
[dispmath]\left|x^2-2x\right|<\frac{1}{2}\\
\left|x-1\right|<2[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath] slučaj [inlmath]y=1[/inlmath] (uvrstimo [inlmath]y=1[/inlmath] u dati sistem nejednačina):
[dispmath]\left|x^2-2x\right|-1<\frac{1}{2}\\
1+\left|x-1\right|<2[/dispmath]
to jest
[dispmath]\left|x^2-2x\right|<\frac{3}{2}\\
\left|x-1\right|<1[/dispmath]
Zatim za svaki od ta dva slučaja vrlo lako rešimo uprošćeni sistem nejednačina s jednom nepoznatom. Npr. u [inlmath]I[/inlmath] slučaju krenemo od druge nejednačine, [inlmath]\left|x-1\right|<2[/inlmath], odatle je [inlmath]-2<x-1<2[/inlmath], dodamo jedinicu na sve tri strane, [inlmath]-1<x<3[/inlmath], što daje [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] kao moguće vrednosti za [inlmath]x[/inlmath]. Svaku od njih uvrstimo u prvu nejednačinu, [inlmath]\left|x^2-2x\right|<\frac{1}{2}[/inlmath], i proverimo za koje od tih vrednosti je ta prva jednačina zadovoljena.
Isto tako i za [inlmath]II[/inlmath] slučaj.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7774
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Mile2003, miletrans i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 09. Decembar 2019, 08:18 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs