Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Sistem dve kvadratne jednačine

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Sistem dve kvadratne jednačine

Postod desideri » Ponedeljak, 11. Jul 2016, 18:47

Ja moram da vam se požalim.
Svim moderatorima, zaslužnim forumašima i korisnicima.
U jednoj ruskoj zbirci (postovaću naknadno i izvor) naišao sam na zadatak koji sam rešavao 5 (i slovima pet) sati. Zainatio sam se.
Rešio sam ga "nabadanjem", metodom više uzaludnih pokušaja.
Kada kažem "nabadanje", mislim na nule polinoma četvrtog stepena.
Ovo je samo fragment zadatka, garantujem tačnost pošto sam sve prethodno proverio i softverski.

Ovo je taj deo zadatka (original tj ceo zadatak bih već postovao u rubrici "Funkcije" jer se izvorno radi o ekstremumu funkcije dve promenljive, ali neću jer mi se sopstveno rešenje ovog dela zadatka ne sviđa):

Potrebno je u realnom domenu naći rešenje sistema dve jednačine sa dve promenljive:
[dispmath]2\left(y^2+1\right)-x(y+3)=0[/dispmath][dispmath]x^2-2xy-3y+1=0[/dispmath]
Ja sam svašta pokušavao, pakovao, izražavao jednu promenljivu preko druge i na kraju jako grubo i po mom mišljenju lošim putem dobio rešenje:
[dispmath]x=\frac{2}{3}[/dispmath][dispmath]y=\frac{1}{3}[/dispmath]
p.s. Napisaću i svoje uzaludne pokušaje (pre svođenja na polinom četvrtog stepena). Hteo sam da "pakujem" pa da ih nekako (te dve jednačine) saberem ili oduzmem, ali ništa. :(
Dobio sam rešenje, ali je postupak rogobatan i meni samom se ne sviđa.
p.p.s. Nadam se da će neko naći elegantno i kratko rešenje. :) Videćete kako je lep zadatak, do sada na Matemaniji (ako se ne varam) nismo imali ekstremume funkcija više promenljivih. No ponavljam, ovo je samo fragment zadatka. Sve ostalo sam uradio jako kratko, ovo je "karika koja nedostaje".
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Sistem dve kvadratne jednačine

Postod Ilija » Ponedeljak, 11. Jul 2016, 20:13

Ako podjemo od pretpostavke da je po jedna od promenljivih u svakoj od jednacina jednaka [inlmath]0[/inlmath], onda dobijamo dva podsistema, gde jedan ima kompleksna resenja (koja naravno odbacujemo), a jedan upravo ovo [inlmath]\displaystyle(x,y)=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)[/inlmath].

Nista drugo mi ne pada na pamet. A nadam se da razumete sta sam rekao. :)
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Re: Sistem dve kvadratne jednačine

Postod desideri » Ponedeljak, 11. Jul 2016, 20:27

Sasvim tačno Ilija, i ja sam na to pomišljao no ne znam da li bi se uvažilo ako bi zadatak bio na ispitu.
Kako ja da pretpostavim da su promenljive pojedinačno nula u svakoj od jednačina?
Na osnovu čega?
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Sistem dve kvadratne jednačine

Postod Ilija » Ponedeljak, 11. Jul 2016, 20:34

Pa ne deluje mi kao neki postupak koji bi se uvazio na fakultetu. Mada ne tvrdim da je tako.

Sto se tice toga kako pretpostaviti, ne znam. Meni je to palo na um kao jedna od mogucih ideja, te sam isprobao (svakako da sistem nikad nisam resavao na taj nacin).

Mislim da je najbolje da se ipak postavi ceo zadatak.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Re: Sistem dve kvadratne jednačine

Postod desideri » Ponedeljak, 11. Jul 2016, 20:46

Ilija je napisao:Mislim da je najbolje da se ipak postavi ceo zadatak.

U pravu si.
Postaviću koliko sutra ceo zadak sa kompletnim rešenjem u rubriku "Funkcije".
Uradio sam ga do kraja, ali da ponovim: nedostaje elegantno rešenje ovog sistema. Ja sam to uradio za moj ukus rogobatno, baš ovaj deo.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Sistem dve kvadratne jednačine

Postod bobanex » Ponedeljak, 11. Jul 2016, 21:55

[dispmath]x=\frac{2\left(y^2+1\right)}{y+3}\\
x\left(x-2y\right)-3y+1=0\\
\frac{2\left(y^2+1\right)}{y+3}\left(\frac{2\left(y^2+1\right)}{y+3}-2y\right)-3y+1=0\\
\frac{2\left(y^2+1\right)}{y+3}\frac{2\left(1-3y\right)}{y+3}-3y+1=0\\
\frac{4\left(y^2+1\right)\left(1-3y\right)}{\left(y+3\right)^2}+\frac{\left(1-3y\right)\left(y+3\right)^2}{\left(y+3\right)^2}=0\\
\left(1-3y\right)\frac{4\left(y^2+1\right)+\left(y+3\right)^2}{\left(y+3\right)^2}=0\\
1-3y=0\\
y=\frac{1}{3}\\
x=\frac{2}{3}[/dispmath]
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Re: Sistem dve kvadratne jednačine

Postod Daniel » Četvrtak, 14. Jul 2016, 20:29

Ilija je napisao:Ako podjemo od pretpostavke da je po jedna od promenljivih u svakoj od jednacina jednaka [inlmath]0[/inlmath],

Kanda se to kod ovog sistema sasvim slučajno tako potrefilo. :)
Lično ne vidim nikakvu logičku povezanost između izjednačavanja jedne promenljive s nulom i nalaženja rešenja za drugu promenljivu.
Pokušaj da isti postupak primeniš na, recimo, ovakav sistem
[dispmath]4\left(y^2-5\right)-x\left(y+1\right)=0\\
x^2-3xy+7y-1=0[/dispmath]
i uverićeš se da taj put neće dovesti do tačnog rešenja (rešenja ima četiri, jedno od njih je [inlmath]\left(x,y\right)=\left(4,3\right)[/inlmath], dok su preostala tri „ružna“ – ne tvrdim ni da je moguće ni da je nemoguće sistem iz ovog mog primera rešiti faktorisanjem, al' to ovde nije ni poenta).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sistem dve kvadratne jednačine

Postod Ilija » Petak, 15. Jul 2016, 14:29

Da, verovatno se to samo tako potrefilo. A metod resavanja zaista jeste cudan - ja bar nikad tako nisam radio, niti sam video da je neko negde tako radio. Ali razne stvari su mi tad padale na pamet (usled trazenja nekog inovativnog resenja za ovo).
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 57 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:49 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs