Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Zadatak sa prijemnog na ETF-u 2016g. (eksponenti)

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Zadatak sa prijemnog na ETF-u 2016g. (eksponenti)

Postod leaf » Ponedeljak, 08. Avgust 2016, 21:10

Prijemni ispit ETF - 27. jun 2016. – 1. zadatak

Zadatak glasi:
Vrednost izraza [inlmath]0,5^{1,5}\cdot0,25^{0,5}\cdot8^{−1,5}[/inlmath] jednaka je:

[inlmath](A)\;2^3\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\frac{1}{2^5}\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;\frac{1}{2^7}\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;2^{1,5}\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;1\qquad[/inlmath] [inlmath](N)\;\text{Ne znam}[/inlmath]

RAD:
Na samom pocetku mozemo videti da je potrebno da sve decimalne zapise pretvorimo u razlomke kako bi mogli dalje ''sredjivati'' zadatak.

Decimalni zapis npr. [inlmath]0,5[/inlmath] pretvaramo u razlomak tako sto jednostavno u brojiocu prepisemo peticu a u imeniocu je uvek neki dekadni zapis ([inlmath]10,100,1000[/inlmath] itd.), broj nula zavisi koliko ima brojeva iza zareza, tako da u ovom slucaju broj [inlmath]0,5[/inlmath] ima samo jednu cifru iza zareza, pa zato i pisemo u imeniocu broj [inlmath]10[/inlmath] i tako dobijamo [inlmath]\frac{5}{10}[/inlmath].
U drugom slucaju kada imamo neku vrednost ispred zareza kao broj [inlmath]1,5[/inlmath], onda tada u brojiocu prepisujemo ceo taj broj samo bez zareza, tako da je to usvari sada broj [inlmath]15[/inlmath], dok u imeniocu opet isto kao i u predhodnom slucaju, gledamo koliko ima cifara iza zareza sto ce reci da i ovde imamo jednu cifru pa je zato u imeniocu opet broj [inlmath]10[/inlmath] i tako dobijamo broj [inlmath]\frac{15}{10}[/inlmath]
Stoga, mozemo odma zapisati tako zadatak:
[dispmath]\frac{5}{10}^\frac{15}{10}\cdot\frac{25}{100}^\frac{5}{10}\cdot8^\frac{-15}{10}[/dispmath]
Sada primecujemo da se mogu skratiti ovi razlomci, zato sledi:
[dispmath]\frac{\cancel5}{\cancel{10}}^\frac{\cancel{15}}{\cancel{10}}\cdot\frac{\cancel{25}}{\cancel{100}}^\frac{\cancel5}{\cancel{10}}\cdot8^\frac{\cancel{-15}}{\cancel{10}}\iff\\
\frac{1}{2}^\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}^\frac{1}{2}\cdot8^\frac{-3}{2}[/dispmath]
Posto smo sada malo sredili razlomke, primecujemo da se sve osnove mnoze medjusobno, i zakljucujemo da njihovi eksponenti mogu da se saberu ukoliko sve svedemo na istu osnovu(pravilo kod eksponenta je to da kada mnozimo eksponencijalne brojeve koje imaju iste osnove, njihovi eksponenti se sabiraju. Primer: [inlmath]2^5\cdot2^{25}=2^{5+25}[/inlmath]

ako su pak razlicite osnove i nije moguce svesti ih na istu, u tom slucaju je to nemoguce. Primer: [inlmath]2^5\cdot3^{25}=2^5\cdot3^{25}[/inlmath]
Sada kada znamo ovo, sledi svodjenje svega na istu osnovu:
Ako pogledamo osnove mozemo zakljuciti da ih je zajednicki broj [inlmath]2[/inlmath], znaci treba ih sve svesti na broj [inlmath]2[/inlmath], da bi nam bilo jasno, izdvojicemo osnove i svesti ih na broj [inlmath]2[/inlmath]
[inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] mozemo napisati kao [inlmath]2^{-1}[/inlmath]
[inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] mozemo napisati kao [inlmath]2^{-2}[/inlmath]
[inlmath]8[/inlmath] mozemo napisati kao [inlmath]2^3[/inlmath]
Sada kada ovo vratimo u predhodno, dobijamo dvostruki stepen tj. [inlmath]2^{(-1)^{\frac{3}{2}}}\cdot2^{(-2)^{\frac{1}{2}}}\cdot2^{(3)^{\frac{-3}{2}}}[/inlmath]
Po pravilu, ove dvostruke stepene jednostavno mozemo da ''spustimo u isti red'' tj. oni se medjusobno mogu pomnoziti [inlmath]a^{(n)^m}=a^{n\cdot m}[/inlmath]
tako da dobijamo sledece:
[dispmath]2^{\large-1\cdot\frac{3}{2}}\cdot2^{\large-2\cdot\frac{1}{2}}\cdot2^{\large3\cdot\frac{-3}{2}}\iff\\
2^{\large\frac{-3}{2}}\cdot2^{\large\frac{-2}{2}}\cdot2^{\large\frac{-9}{2}}\iff\\
2^{\large\frac{-3}{2}}\cdot2^{\large\frac{\cancel{-2}}{\cancel2}}\cdot2^{\large\frac{-9}{2}}\iff\\
2^{\large\frac{-3}{2}}\cdot2^{\large-1}\cdot2^{\large\frac{-9}{2}}[/dispmath]
Sada kada smo ovo sredili, primenjujemo pravilo i sabiramo sve eksponente posto imamo iste osnove
[dispmath]2^{\large\frac{-3}{2}+(-1)+\frac{-9}{2}}\iff\\
2^{\large\frac{-3}{2}+(-1)\cdot\frac{2}{2}+\frac{-9}{2}}\iff\\
2^{\large\frac{-3}{2}+\frac{-2}{2}+\frac{-9}{2}}\iff\\
2^{\large\frac{-14}{2}}\iff\\
2^{\large\frac{\cancel{-14}}{\cancel2}}\iff\\
2^{\large-7}[/dispmath]
Ovaj krajnji rezultat mozemo napisati kao [inlmath]2^{(-1)\cdot7}[/inlmath], a to dalje mozemo napisati kao:
[inlmath]2^{(7)^{(-1)}}[/inlmath]
Bilo koji broj koji je stepenovan negativnim brojem je ustvari reciprocna vrednost te cele osnove, tako da je onda:
[inlmath]2^{(7)^{(-1)}}=\frac{1}{2^7}[/inlmath]
Dakle rezultat je:
[dispmath]\frac{1}{2^7}[/dispmath]
leaf  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 5 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Zadatak sa prijemnog na ETF-u 2016g. (eksponenti)

Postod Daniel » Ponedeljak, 08. Avgust 2016, 23:23

Vrlo lepo i postupno objašnjeno (možda na momente čak i preterano postupno), ali imao bih samo jednu primedbu. Nije bilo potrebe eksponente pretvarati u razlomke, već je dovoljno svođenje na jednake osnove.
[dispmath]0,5^{1,5}\cdot0,25^{0,5}\cdot8^{−1,5}=\left(\frac{1}{2}\right)^{1,5}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{0,5}\cdot\left(2^3\right)^{−1,5}=\\
=\left(2^{-1}\right)^{1,5}\cdot\left(2^{-2}\right)^{0,5}\cdot\left(2^3\right)^{−1,5}=2^{-1,5}\cdot2^{-1}\cdot2^{-4,5}=2^{-1,5-1-4,5}=2^{-7}=\frac{1}{2^7}[/dispmath]
Znači, eksponente ostavljamo takve kakvi su.

Sve osobine stepenovanja obrađene su u ovom tutorijalu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7774
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta

Re: Zadatak sa prijemnog na ETF-u 2016g. (eksponenti)

Postod leaf » Utorak, 09. Avgust 2016, 07:43

Da, hvala Bogu! Jos brzi nacin. Odlicno!
leaf  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 5 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot], Mile2003, miletrans i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 09. Decembar 2019, 08:00 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs