@Zumba, pozdrav i dobrodošlica na forum.
Uklonio sam iz tvog posta suvišan citat – nikad nema potrebe citirati celu prethodnu poruku, a to i narušava preglednost teme.
Što se zadatka tiče – vrlo je bitno da u toku rešavanja postaviš odgovarajuće uslove u kojim intervalima se smeju nalaziti rešenja – čini mi se da to nisi radio.
Na samom početku postavlja se uslov nenegativnosti potkorenih veličina, tj. [inlmath]2x-6\ge0[/inlmath] i [inlmath]x+4\ge0[/inlmath] (u ovom konkretnom zadatku ovi uslovi nemaju uticaja na konačan skup rešenja, al' u nekom drugom zadatku će imati). Kao što znaš, potkorena veličina sme biti pozitivna ili nula, ali ne sme biti negativna kako bi izraz bio definisan.
Zatim, prilikom kvadriranja obe strane jednačine, gubi se informacija o predznaku, čime bismo mogli dobiti neka nova, „lažna“ rešenja (ako ti ovo nije najjasnije, posmatraj jednakost [inlmath]-3=3[/inlmath], koja je očigledno netačna; nakon kvadriranja obe strane jednakost postaje [inlmath]9=9[/inlmath], tako da smo od netačne odjednom dobili tačnu jednakost – upravo zato što se kvadriranjem gubi informacija o znaku).
U ovom konkretnom zadatku, ako bismo „lažno“ rešenje [inlmath]x=165[/inlmath] uvrstili u jednačinu neposredno
nakon kvadriranja, [inlmath]4\left(2x^2+2x-24\right)=(27-3x)^2[/inlmath], dobili bismo [inlmath]219\:024=219\:024[/inlmath], tj. jednakost bi bila zadovoljena. Međutim, ako bismo [inlmath]x=165[/inlmath] uvrstili u jednačinu neposredno
pre kvadriranja, [inlmath]2\sqrt{2x^2+2x-24}=27-3x[/inlmath], dobili bismo [inlmath]468=-468[/inlmath], tj. jednakost ne bi bila zadovoljena. Odatle vidimo da se to suvišno rešenje pojavljuje upravo u tom koraku kvadriranja, zbog čega je neophodno pre kvadriranja postaviti uslov, koji glasi – pošto je leva strana jednačine pozitivna ili nula (jer na levoj strani imamo kvadratni koren pomnožen pozitivnim brojem), desna strana takođe mora biti pozitivna ili nula, tj. [inlmath]27-3x\ge0[/inlmath], tj. [inlmath]x\le9[/inlmath]. Odatle će biti eliminisano to suvišno rešenje [inlmath]x=165[/inlmath].
U principu, može se i bez postavljanja svih ovih uslova, tako što se nakon dobijanja svih rešenja (i „pravih“ i „lažnih“) svako od njih uvrštava u početnu jednačinu i proverava se za koja od tih rešenja je jednačina zadovoljena, a za koja nije. Međutim, „školskiji“ način je (po meni, sasvim opravdano) da se uslovi ipak postavljaju u toku samog postupka. Osim toga, sistem provere dobijenih rešenja „ne pali“ kod iracionalnih nejednačina.
A što se tiče velikih brojeva – kad dobiješ izraz za rešenja [inlmath]x_{1,2}=\frac{170\pm\sqrt{170^2-4\cdot825}}{2}[/inlmath], nemoj sve ovo pod korenom odmah množiti, već prvo vidi koje zajedničke činioce možeš izvući ispred korena. Vidi se da je jedan od zajedničkih činilaca [inlmath]25[/inlmath], što kad izađe ispred korena postaje [inlmath]5[/inlmath], i dobije se [inlmath]x_{1,2}=\frac{170\pm5\sqrt{34^2-4\cdot33}}{2}[/inlmath]. Zatim vidimo da je zajednički činilac [inlmath]4[/inlmath], koji kad izađe ispred korena postane [inlmath]2[/inlmath], tj. [inlmath]x_{1,2}=\frac{170\pm10\sqrt{17^2-33}}{2}[/inlmath], a to je sad već daleko lakše za računanje...