Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Kvadratne nejednacine s parametrima

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Kvadratne nejednacine s parametrima

Postod Nikola23 » Petak, 02. Jun 2017, 00:52

Kod zadataka gde se trazi odredjivanje parametara tako nejednacina bude pozitivna ili negativna, uslovi su (valjda?) [inlmath]a>0\wedge D<0[/inlmath] i [inlmath]a<0\wedge D<0[/inlmath]

Zadatak: Za koju vrednost parametra [inlmath]k\in\mathbb{R}[/inlmath] je zadovoljena nejednacina [inlmath]kx^2+3kx+k+2>0\quad\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath]
Prvo vidimo koji su koeficijenti:
[dispmath]a=k\\
b=3k\\
c= k+2[/dispmath] Determinanta
[dispmath]D=b^2-4ac=9k^2-4k^2-8k=5k^2-8k[/dispmath] Da bi nasli nule dobijene jednacine, izvucemo [inlmath]k[/inlmath] ispred
[dispmath]k(5k-8)=0[/dispmath] i dobijemo da su
[dispmath]k_1=0\\
k_2=\frac{8}{5}[/dispmath] i nacrtamo parabolu kako to izgleda.
Da bi neka jednacina bila pozitivna tojest veca od nule, moraju biti zadovoljeni uslovi
[dispmath]a>0\quad D<0[/dispmath] Koeficijent [inlmath]a[/inlmath] nam je jednak parametru [inlmath]k[/inlmath], dok sa parabole vidimo da je [inlmath]D<0\quad\forall k\in\left(0,\frac{8}{5}\right)[/inlmath]
Dakle da bi nejednacina [inlmath]kx^2+3kx+k+2>0\quad\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath] bila zadovoljena, moraju biti ispunjeni uslovi
[dispmath]k>0\quad\wedge\quad k\in\left(0,\frac{8}{5}\right)[/dispmath] Oni su ispunjeni kada je
[dispmath]k\in\left(0,\frac{8}{5}\right)[/dispmath] I to je moje resenje, dok kao tacno resenje u zbirci stoji isto ovo, ali su nulom ukljucenom.
[dispmath]k\in\left[0,\frac{8}{5}\right)[/dispmath]

Iako dobijem poprilicno slicno resenje, gde je jedina razlika (ne)ukljucivanje nule u resenje, nikako mi ne ide u glavu zasto se to radi, i kako se nula moze ukljuciti ako je jedan od uslova da bi jednacina bila na primer pozitivna [inlmath]a>0[/inlmath].



Kasnije u drugom zadatku se pojavljuje drugaciji uslov u resenju (Resenja su sa postupkom). "Manje/jednako" umesto samo "manje".
Drugi je poprilicno slican:
Za koje [inlmath]m[/inlmath] je tacna nejednacina [inlmath]mx^2-2mx+m^2-2<0[/inlmath]?
Razlika je sto ovde u resenju pise da su uslovi
[dispmath]a\leq0\quad\wedge\quad D<0[/dispmath] Postupak je isti kao i za zadatak gore tako da mislim da ga nema potrebe raditi, svakako sam se namucio ko Isus dok sam ovo u Latexu ispisao jer ga prvi put vidim :crazy: , jedino me zbunjuju ovi uslovi, koji su u ovom zadatku iz cista mira drugaciji.

Koji su uopste uslovi, i kad se koji koriste?
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Kvadratne nejednacine s parametrima

Postod Daniel » Petak, 02. Jun 2017, 01:47

Nikola23 je napisao:
Kod zadataka gde se trazi odredjivanje parametara tako nejednacina bude pozitivna ili negativna,

Ako ćemo se izražavati precizno (a bilo bi poželjno), ne može pozitivna ili negativna da bude nejednačina, već pozitivan ili negativan može biti izraz (u ovom slučaju [inlmath]kx^2+3kx+k+2[/inlmath]).

Nikola23 je napisao:
uslovi su (valjda?) [inlmath]a>0\wedge D<0[/inlmath] i [inlmath]a<0\wedge D<0[/inlmath]

Da, to su uslovi da vrednost kvadratne funkcije bude pozitivna za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] (prvi uslov), ili da vrednost kvadratne funkcije bude negativna za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] (drugi uslov).
Međutim, za [inlmath]a=0[/inlmath] funkcija [inlmath]ax^2+bx+c[/inlmath] više neće biti kvadratna već linearna funkcija, jer više nemamo član sa [inlmath]x^2[/inlmath]. Ali, u zadatku se uopšte i ne traži da to nužno bude kvadratna funkcija, već samo da vrednost tog izraza bude pozitivna. Kako je u slučaju [inlmath]a=0[/inlmath] (iliti [inlmath]k=0[/inlmath]) linearni član (onaj koji sadrži [inlmath]x[/inlmath]) takođe jednak nuli, ta linearna funkcija se, opet, svodi samo na konstantu – u ovom slučaju ta konstanta je [inlmath]2[/inlmath], a ona je veća od nule za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]k=0[/inlmath] je takođe vrednost [inlmath]k[/inlmath] za koju je nejednačina [inlmath]kx^2+3kx+k+2>0[/inlmath] zadovoljena za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath].
To je uostalom i odmah vidljivo, jer se uvrštavanjem [inlmath]k=0[/inlmath] nejednačina [inlmath]kx^2+3kx+k+2>0[/inlmath] svodi na [inlmath]2>0[/inlmath].

Nikola23 je napisao:
Prvo vidimo koji su koeficijenti:
[dispmath]a=k\\
b=3k\\
c= k+2[/dispmath] Determinanta
[dispmath]D=b^2-4ac=9k^2-4k^2-8k=5k^2-8k[/dispmath]

Tačnije, diskriminanta. :) Determinanta je nešto drugo. :)

Nikola23 je napisao:
Drugi je poprilicno slican:
Za koje [inlmath]m[/inlmath] je tacna nejednacina [inlmath]mx^2-2mx+m^2-2<0[/inlmath]?
Razlika je sto ovde u resenju pise da su uslovi
[dispmath]a\leq0\quad\wedge\quad D<0[/dispmath]

Pa, to je to. Isto kao u prethodnom zadatku, jedino što su ovde odmah objedinili slučaj [inlmath]a<0[/inlmath] i slučaj [inlmath]a=0[/inlmath].
Naravno, ovde bismo za slučaj [inlmath]m=0[/inlmath] dobili [inlmath]-2<0[/inlmath], a to je svakako zadovoljeno za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath].


Ovo me podsetilo na ovaj zadatak, u kome se javlja slična caka, te preporučujem da pogledaš i tu temu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Kvadratne nejednacine s parametrima

Postod Nikola23 » Petak, 02. Jun 2017, 09:13

Daniel je napisao:Kako je u slučaju [inlmath]a=0[/inlmath] (iliti [inlmath]k=0[/inlmath]) linearni član (onaj koji sadrži [inlmath]x[/inlmath]) takođe jednak nuli, ta linearna funkcija se, opet, svodi samo na konstantu – u ovom slučaju ta konstanta je [inlmath]2[/inlmath], a ona je veća od nule za svako [inlmath]x∈\mathbb{R}[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]k=0[/inlmath] je takođe vrednost [inlmath]k[/inlmath] za koju je nejednačina [inlmath]kx^2+3kx+k+2>0[/inlmath] zadovoljena za svako [inlmath]x∈ \mathbb{R}[/inlmath].
To je uostalom i odmah vidljivo, jer se uvrštavanjem [inlmath]k=0[/inlmath] nejednačina [inlmath]kx^2+3kx+k+2>0[/inlmath] svodi na [inlmath]2>0[/inlmath].

Razumem ja to. Prvo sam pomislio da nije u pitanju samo stamparska greska, da nisu stavili pogresnu zagradu slucajno, pa sam uvrstio nulu da proverim i video da ipak nije greska.

Ali kada ukljucimo nulu, to bi se kosilo sa prvim uslovom i onda on ne bi bio vise ispunjen ([inlmath]a>0[/inlmath]). To mene muci, vidim ja da je resenje tacno, ali vidim i da se ono malo kosi sa ovim uslovom :lol:
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Kvadratne nejednacine s parametrima

Postod Daniel » Petak, 02. Jun 2017, 09:29

Upravo o tome ti i govorim. U ovom zadatku bi ti [inlmath]a>0[/inlmath] i [inlmath]D<0[/inlmath] bio uslov da kvadratna nejednačina bude zadovoljena, dok je [inlmath]a\ge0[/inlmath] i [inlmath]D<0[/inlmath] uslov da nejednačina bude zadovoljena. Jer, za [inlmath]a=0[/inlmath] jednačina se svodi na linearnu, koja takođe može biti zadovoljena (i u slučaju linearne nejednačine, naravno, nema ni smisla govoriti o diskriminanti).

Dakle, u opštem slučaju, ako se traži da nejednačina bude kvadratna, tada postoje dve mogućnosti – ili [inlmath]a<0[/inlmath] ili [inlmath]a>0[/inlmath]. Za [inlmath]a=0[/inlmath] jednačina više ne bi bila kvadratna.
Pošto se ovde ne pominje da data nejednačina mora biti kvadratna, mora se razmatrati i taj treći slučaj, [inlmath]a=0[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Kvadratne nejednacine s parametrima

Postod Nikola23 » Petak, 02. Jun 2017, 09:38

Ahaa, sad razumem, hvala puno.
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 48 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:23 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs