Kod zadataka gde se trazi odredjivanje parametara tako nejednacina bude pozitivna ili negativna, uslovi su (valjda?) [inlmath]a>0\wedge D<0[/inlmath] i [inlmath]a<0\wedge D<0[/inlmath]
Zadatak: Za koju vrednost parametra [inlmath]k\in\mathbb{R}[/inlmath] je zadovoljena nejednacina [inlmath]kx^2+3kx+k+2>0\quad\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath]
Prvo vidimo koji su koeficijenti:
[dispmath]a=k\\
b=3k\\
c= k+2[/dispmath] Determinanta
[dispmath]D=b^2-4ac=9k^2-4k^2-8k=5k^2-8k[/dispmath] Da bi nasli nule dobijene jednacine, izvucemo [inlmath]k[/inlmath] ispred
[dispmath]k(5k-8)=0[/dispmath] i dobijemo da su
[dispmath]k_1=0\\
k_2=\frac{8}{5}[/dispmath] i nacrtamo parabolu kako to izgleda.
Da bi neka jednacina bila pozitivna tojest veca od nule, moraju biti zadovoljeni uslovi
[dispmath]a>0\quad D<0[/dispmath] Koeficijent [inlmath]a[/inlmath] nam je jednak parametru [inlmath]k[/inlmath], dok sa parabole vidimo da je [inlmath]D<0\quad\forall k\in\left(0,\frac{8}{5}\right)[/inlmath]
Dakle da bi nejednacina [inlmath]kx^2+3kx+k+2>0\quad\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath] bila zadovoljena, moraju biti ispunjeni uslovi
[dispmath]k>0\quad\wedge\quad k\in\left(0,\frac{8}{5}\right)[/dispmath] Oni su ispunjeni kada je
[dispmath]k\in\left(0,\frac{8}{5}\right)[/dispmath] I to je moje resenje, dok kao tacno resenje u zbirci stoji isto ovo, ali su nulom ukljucenom.
[dispmath]k\in\left[0,\frac{8}{5}\right)[/dispmath]
Iako dobijem poprilicno slicno resenje, gde je jedina razlika (ne)ukljucivanje nule u resenje, nikako mi ne ide u glavu zasto se to radi, i kako se nula moze ukljuciti ako je jedan od uslova da bi jednacina bila na primer pozitivna [inlmath]a>0[/inlmath].
Kasnije u drugom zadatku se pojavljuje drugaciji uslov u resenju (Resenja su sa postupkom). "Manje/jednako" umesto samo "manje".
Drugi je poprilicno slican:
Za koje [inlmath]m[/inlmath] je tacna nejednacina [inlmath]mx^2-2mx+m^2-2<0[/inlmath]?
Razlika je sto ovde u resenju pise da su uslovi
[dispmath]a\leq0\quad\wedge\quad D<0[/dispmath] Postupak je isti kao i za zadatak gore tako da mislim da ga nema potrebe raditi, svakako sam se namucio ko Isus dok sam ovo u Latexu ispisao jer ga prvi put vidim , jedino me zbunjuju ovi uslovi, koji su u ovom zadatku iz cista mira drugaciji.
Koji su uopste uslovi, i kad se koji koriste?
Zadatak: Za koju vrednost parametra [inlmath]k\in\mathbb{R}[/inlmath] je zadovoljena nejednacina [inlmath]kx^2+3kx+k+2>0\quad\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath]
Prvo vidimo koji su koeficijenti:
[dispmath]a=k\\
b=3k\\
c= k+2[/dispmath] Determinanta
[dispmath]D=b^2-4ac=9k^2-4k^2-8k=5k^2-8k[/dispmath] Da bi nasli nule dobijene jednacine, izvucemo [inlmath]k[/inlmath] ispred
[dispmath]k(5k-8)=0[/dispmath] i dobijemo da su
[dispmath]k_1=0\\
k_2=\frac{8}{5}[/dispmath] i nacrtamo parabolu kako to izgleda.
Da bi neka jednacina bila pozitivna tojest veca od nule, moraju biti zadovoljeni uslovi
[dispmath]a>0\quad D<0[/dispmath] Koeficijent [inlmath]a[/inlmath] nam je jednak parametru [inlmath]k[/inlmath], dok sa parabole vidimo da je [inlmath]D<0\quad\forall k\in\left(0,\frac{8}{5}\right)[/inlmath]
Dakle da bi nejednacina [inlmath]kx^2+3kx+k+2>0\quad\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath] bila zadovoljena, moraju biti ispunjeni uslovi
[dispmath]k>0\quad\wedge\quad k\in\left(0,\frac{8}{5}\right)[/dispmath] Oni su ispunjeni kada je
[dispmath]k\in\left(0,\frac{8}{5}\right)[/dispmath] I to je moje resenje, dok kao tacno resenje u zbirci stoji isto ovo, ali su nulom ukljucenom.
[dispmath]k\in\left[0,\frac{8}{5}\right)[/dispmath]
Iako dobijem poprilicno slicno resenje, gde je jedina razlika (ne)ukljucivanje nule u resenje, nikako mi ne ide u glavu zasto se to radi, i kako se nula moze ukljuciti ako je jedan od uslova da bi jednacina bila na primer pozitivna [inlmath]a>0[/inlmath].
Kasnije u drugom zadatku se pojavljuje drugaciji uslov u resenju (Resenja su sa postupkom). "Manje/jednako" umesto samo "manje".
Drugi je poprilicno slican:
Za koje [inlmath]m[/inlmath] je tacna nejednacina [inlmath]mx^2-2mx+m^2-2<0[/inlmath]?
Razlika je sto ovde u resenju pise da su uslovi
[dispmath]a\leq0\quad\wedge\quad D<0[/dispmath] Postupak je isti kao i za zadatak gore tako da mislim da ga nema potrebe raditi, svakako sam se namucio ko Isus dok sam ovo u Latexu ispisao jer ga prvi put vidim , jedino me zbunjuju ovi uslovi, koji su u ovom zadatku iz cista mira drugaciji.
Koji su uopste uslovi, i kad se koji koriste?