Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Resenja jednacine treceg stepena

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Resenja jednacine treceg stepena

Postod Nađa » Nedelja, 11. Jun 2017, 14:55

Probni prijemni ispit ETF - 10. jun 2017.
16. zadatak


Ovaj zadatak mi je oduzeo bas puno vremena na probnom prijemnom, ali nisam uspela da ga resim do kraja.
Ako su [inlmath]p[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] koreni jednacine [inlmath]x^3-x+1=0[/inlmath], tada je [inlmath]p^5+q^5+r^5[/inlmath] jednako:
[inlmath]A)\;0\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{B)}\;-5\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;-2\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;-3\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;-4[/inlmath]
Resenje je pod [inlmath]B)[/inlmath]. Posto jednacina ne moze da se rastavi Bezuovim stavom, odlucila sam se na Vijetove formule, odakle je
[inlmath]p+q+r=0\\
pq+pr+qr=-1\\
pqr=-1[/inlmath]
Posto imam tri nepoznate i tri jednacine, odlucila sam se da samo prvu jednacinu dignem na [inlmath]5.[/inlmath] stepen odnosno dva puta na [inlmath]2.[/inlmath] i jednom na [inlmath]1.[/inlmath] . Ali sto sam vise skracivala i vise mnozila to je rezultat bio komplikovaniji...
Moze li neko da mi pomogne oko ovog zadatka, da li uopste treba da se radi preko Vijetovih formula? :)
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Resenja jednacine treceg stepena

Postod Corba248 » Nedelja, 11. Jun 2017, 19:23

Kako god radili ovaj zadatak, potrebno je dobro poznavanje identiteta u algebri.
Najzgodnije bi bilo iskoristiti ovo:
Ako je [inlmath]a+b+c=0[/inlmath] onda je [inlmath]\frac{a^5+b^5+c^5}{ab+bc+ac}=-5abc[/inlmath]. Odavde rešenje direktno sledi.

No, pitanje je da li iko za ovo zna (nisam ni ja znao). Ono što znam je sledeća formula preko koje zadatak postaje rešiv:
[dispmath]a^5+b^5=(a+b)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)[/dispmath] U opštem obliku formula se nalazi ovde.
Znamo da je [inlmath]p+q=-r[/inlmath] i [inlmath]pq=-\frac{1}{r}[/inlmath] i [inlmath]pq+qr+pr=-1[/inlmath]. Zadatak se radi ovako:
[dispmath]\begin{align}
p^5+q^5&=(p+q)\left(p^4-p^3q+p^2q^2-pq^3+q^4\right)\\
&=(p+q)\left(p^4+q^4-pq\left(p^2+q^2\right)+(pq)^2\right)\\
&=(p+q)\left(\left(p^2+q^2\right)^2-2p^2q^2-pq\left((p+q)^2-2pq\right)+(pq)^2\right)\\
&=(p+q)\left(\left((p+q)^2-2pq\right)^2-2(pq)^2-pq\left((p+q)^2-2pq\right)+(pq)^2\right)\\
&=-r\left(\left(r^2-2\cdot\left(-\frac{1}{r}\right)\right)^2-2\cdot\frac{1}{r^2}-\left(-\frac{1}{r}\right)\left(r^2-2\cdot\left(-\frac{1}{r}\right)\right)+\frac{1}{r^2}\right)\\
&=-r\left(r^4+4r+\frac{4}{r^2}-\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r}\left(r^2+\frac{2}{r}\right)\right)\\
&=-r\left(r^4+4r+\frac{4}{r^2}-\frac{1}{r^2}+r+\frac{2}{r^2}\right)\\
&=-r\left(r^4+\frac{5}{r^2}+5r\right)\\
&=-r^5-\frac{5}{r}-5r^2
\end{align}[/dispmath] Analogno se dobija [inlmath]p^5+r^5=-q^5-\frac{5}{q}-5q^2[/inlmath] i [inlmath]q^5+r^5=-p^5-\frac{5}{p}-5p^2[/inlmath]. Dakle:
[dispmath]2\left(p^5+q^5+r^5\right)=-\left(p^5+q^5+r^5\right)-\left(\frac{5}{p}+\frac{5}{q}+\frac{5}{r}\right)-5\left(p^2+q^2+r^2\right)\\
3\left(p^5+q^5+r^5\right)=-5\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\right)-5\left(p^2+q^2+r^2\right)[/dispmath] Sada ćemo deo po deo transformisati ovaj izraz:
[dispmath]\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{pq+pr+qr}{pqr}=\frac{-1}{-1}=1[/dispmath][dispmath]p^2+q^2+r^2=(p+q+r)^2-2(pq+pr+qr)=0-2\cdot(-1)=2[/dispmath] Kada ovo uvrstimo dobijamo:
[dispmath]3\left(p^5+q^5+r^5\right)=-5\cdot1-5\cdot2=-15\;\Longrightarrow\;p^5+q^5+r^5=\enclose{box}{-5}[/dispmath]
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

Re: Resenja jednacine treceg stepena

Postod Nađa » Nedelja, 11. Jun 2017, 19:40

Hvala puno! :D
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

Re: Resenja jednacine treceg stepena

Postod Daniel » Nedelja, 11. Jun 2017, 20:38

Evo još jednog načina, možda malo komplikovanijeg, budući da nisam koristio pomenuto rastavljanje [inlmath]a^5+b^5=(a+b)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)[/inlmath] već, naprotiv, razvijanje binoma petog stepena, po binomnoj formuli [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath].
[dispmath](p+q+r)^5=(p+q)^5+5(p+q)^4r+10(p+q)^3r^2+10(p+q)^2r^3+5(p+q)r^4+r^5=[/dispmath][dispmath]=p^5+5p^4q+10p^3q^2+10p^2q^3+5pq^4+q^5+5p^4r+20p^3qr+30p^2q^2r+20pq^3r+5q^4r+\\
+10p^3r^2+30p^2qr^2+30pq^2r^2+10q^3r^2+10p^2r^3+20pqr^3+10q^2r^3+5pr^4+5qr^4+r^5[/dispmath] Nakon grupisanja sabiraka s jednakim koeficijentima dobije se
[dispmath]\begin{align}
(p+q+r)^5&=p^5+q^5+r^5+\\
&+5\left(p^4q+pq^4+p^4r+q^4r+pr^4+qr^4\right)+\\
&+10\left(p^3q^2+p^2q^3+p^3r^2+q^3r^2+p^2r^3+q^2r^3\right)+\\
&+20\left(p^3qr+pq^3r+pqr^3\right)+\\
&+30\left(p^2q^2r+p^2qr^2+pq^2r^2\right)
\end{align}[/dispmath] Pa sad računamo svaki od ovih izraza u zagradama:
[dispmath]p^4q+pq^4+p^4r+q^4r+pr^4+qr^4=p^4\underbrace{(q+r)}_{-p}+q^4\underbrace{(p+r)}_{-q}+r^4\underbrace{(p+q)}_{-r}=-\left(p^5+q^5+r^5\right)[/dispmath] Radi računanja narednog izraza biće potrebno da znamo čemu je jednako [inlmath]p^2q^2[/inlmath], [inlmath]p^2r^2[/inlmath] i [inlmath]q^2r^2[/inlmath]:
[inlmath]pqr=-1\quad\Longrightarrow\quad p^2q^2r^2=1\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}
p^2q^2=\frac{1}{r^2}\\
p^2r^2=\frac{1}{q^2}\\
q^2r^2=\frac{1}{p^2}
\end{cases}[/inlmath]
[dispmath]p^3q^2+p^2q^3+p^3r^2+q^3r^2+p^2r^3+q^2r^3=\underbrace{p^2q^2}_{\frac{1}{r^2}}\underbrace{(p+q)}_{-r}+\underbrace{p^2r^2}_{\frac{1}{q^2}}\underbrace{(p+r)}_{-q}+\underbrace{q^2r^2}_{\frac{1}{p^2}}\underbrace{(q+r)}_{-p}=\\
=-\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\right)=-\frac{pq+pr+qr}{pqr}=-1[/dispmath][dispmath]p^3qr+pq^3r+pqr^3=pqr\left(p^2+q^2+r^2\right)=pqr\Bigl[(p+q+r)^2-2(pq+pr+qr)\Bigr]=-2[/dispmath][dispmath]p^2q^2r+p^2qr^2+pq^2r^2=pqr(pq+pr+qr)=1[/dispmath] Zatim sve to uvrštavamo u prethodnu jednakost:
[dispmath]{\underbrace{(p+q+r)}_0}^5=p^5+q^5+r^5-5\left(p^5+q^5+r^5\right)+10\cdot(-1)+20\cdot(-2)+30\cdot1\\
0=-4\left(p^5+q^5+r^5\right)-20\\
\enclose{box}{p^5+q^5+r^5=-5}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Resenja jednacine treceg stepena

Postod Nađa » Sreda, 14. Jun 2017, 21:31

Dragi moji ako danas nisam razbila glavu razmisljajuci kako jos lakse da resim zadatak nikad necu :D
Ovo je definitivno najbrze :)
[inlmath]p[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath], [inlmath]r[/inlmath] su resenja ubacila sam ih u jednacinu jer sto da ne kada su resenja
[inlmath]p^3-p+1=0[/inlmath] odakle je [inlmath]p^3=p-1[/inlmath]
[inlmath]q^3-q+1=0[/inlmath] odakle je [inlmath]q^3=q-1[/inlmath]
[inlmath]r^3-r+1=0[/inlmath] odakle je [inlmath]r^3=r-1[/inlmath]
[inlmath]p^3+q^3+r^3=-3[/inlmath]
[inlmath](p+q+r)^2=p^2+q^2+r^2+2(pq+pr+qr)[/inlmath], [inlmath]p+q+r=0[/inlmath]; [inlmath]pq+pr+qr=-1[/inlmath]
[inlmath]p^2+q^2+r^2=2[/inlmath]
[inlmath]p^5+q^5+r^5=p^3\cdot p^2+q^3\cdot q^2+r^3\cdot r^2=(p-1)p^2+(q-1)q^2+(r-1)r^2=p^3+q^3+r^3-\left(p^2+q^2+r^2\right)=-3-2=\enclose{box}{-5}[/inlmath]
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 42 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 08:09 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs