13.zadatakSva resenja jednacina [inlmath]\sqrt{x\sqrt[5]x}-\sqrt[5]{x\sqrt x}=56[/inlmath] nalaze se u kom intervalu?
Zadatak cu resiti smenom, ali pre toga cu malo da sredim jednacinu...
[dispmath]\sqrt{x\sqrt[5]x}-\sqrt[5]{x\sqrt x}=56\\
\sqrt{\sqrt[5]{x^6}}-\sqrt[5]{\sqrt{x^3}}=56\\
\sqrt[10]{x^6}-\sqrt[10]{x^3}=56[/dispmath]
Sada cu da izvucem [inlmath]\sqrt[10]{x^3}[/inlmath]
ispred svega sa leve strane, i potom cu kao smenu da uzmem [inlmath]\bbox[yellow]{\sqrt[10]{x^3}=t}[/inlmath]
[dispmath]\sqrt[10]{x^3}\cdot\left(\sqrt[10]{x^3}-1\right)=56\\
t\cdot(t-1)=56\\
t^2-t-56=0\\
t_1=8,\;t_2=-7[/dispmath] Medjutim drugo resenje se automatski eliminise, jer je negativno, pod korenom (parnog stepena) nikako ne sme da se dobije negativno resenje, tj. [inlmath]x\ge0[/inlmath]
[dispmath]\sqrt[10]{x^3}=8\\
x^{\frac{3}{10}}=8\\
\frac{3}{10}\cdot\log_{10}x=\log_{10}8\\
\frac{1}{10}\cdot\log_{10}x=\log_{10}2[/dispmath] Posto su jednake osnove logaritma sa desne i leve strane, izjednacimo njihove argumente
[dispmath]\sqrt[10]x=2\\
\enclose{box}{x=2^{10}}\\
2^{10}=1024,\;1024\in(1000,1500][/dispmath]