Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Sistem jednacina – probni MATF 2017.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Sistem jednacina – probni MATF 2017.

Postod Nađa » Ponedeljak, 19. Jun 2017, 14:20

11. zadatak
Treba odrediti koeficijente [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] sistema jednacina tako da sistem ima beskonacno mnogo resenja
[dispmath]ax-6y=8\\
x+by=4\;\Longrightarrow\;x=4-by[/dispmath] Sada cu [inlmath]x[/inlmath] koje sam izrazila iz druge jednacine da ubacim u prvu jednacinu
[dispmath]a\cdot(4-by)-6y=8\\
y\cdot(-ab-6)=8-4a\\
y\cdot(ab+6)=4a-8\\
y=\frac{4a-8}{ab+6}[/dispmath] Ova jednacina ce imati beskonacno mnogo resenja, ako je [inlmath]ab=-6[/inlmath]
Sad iz ove jednacine moze da se izrazi [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]b[/inlmath], ja sam [inlmath]a[/inlmath] izrazila preko [inlmath]b[/inlmath], gde je [inlmath]a=-\frac{6}{b}[/inlmath]
[dispmath]-\frac{6}{b}\cdot x-6y=8\\
x+by=4\;\Longrightarrow\;x=4-by\\
-\frac{6}{b}\cdot(4-by)-6y=8\\
-\frac{24}{b}+6y-6y=8\\
b=-3\\
ab=-6,\quad b=-3\\
a=2\\
a+b=\enclose{box}{-1}[/dispmath]
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Sistem jednacina – probni MATF 2017.

Postod miletrans » Ponedeljak, 19. Jun 2017, 14:31

Ja bih ovu proceduru malo skratio. Znamo da je uslov da sistem ima beskonačan broj rešenja da nam se kao rešenje pojavi jednakost oblika [inlmath]x=\frac{0}{0}[/inlmath]. Sada bih direktno iskoristio razlomak koji je Nađa dobila za [inlmath]y[/inlmath], pa bih brojilac i imenilac odvojeno izjednačio sa nulom, pa rešavao kao sistem:
[dispmath]4a-8=0[/dispmath][dispmath]ab+6=0[/dispmath] U suštini, Nađa je svojim postupkom to i uradila, samo je išla "obilaznim" putem.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

  • +1

Re: Sistem jednacina – probni MATF 2017.

Postod bobanex » Ponedeljak, 19. Jun 2017, 15:02

[dispmath]ax-6y=8\\
x+by=4\quad\Big/\cdot2\\
2x+2by=8\\
a=2\\
b=-3[/dispmath] Nemoj joj govoriti da je kružila, osetljiva je na to :)
bobanex  OFFLINE
BANOVAN
 
Postovi: 523
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 505 puta

Re: Sistem jednacina – probni MATF 2017.

Postod Nađa » Ponedeljak, 19. Jun 2017, 15:09

Slazem se da je to bio kraci nacin da se resi zadatak.
Ne brini se nisam osetljiva :P
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

  • +2

Re: Sistem jednacina – probni MATF 2017.

Postod miletrans » Ponedeljak, 19. Jun 2017, 15:23

Nađa je napisao:Ova jednacina ce imati beskonacno mnogo resenja, ako je [inlmath]ab=-6[/inlmath]

Samo da dopunim ovaj deo. Sistem bi imao beskonačan broj rešenja ako su i brojilac i imenilac jednaki [inlmath]0[/inlmath]. Ako bi brojilac bio bilo koji drugi realan broj osim [inlmath]0[/inlmath], a imenilac [inlmath]0[/inlmath], sistem bi bio nesaglasan (ne bi imao rešenja).
Zamisli da dobiješ [inlmath]y=\frac{5}{0}[/inlmath]. To bi značilo da tražimo broj koji pomnožen nulom daje broj [inlmath]5[/inlmath].
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

  • +2

Re: Sistem jednacina – probni MATF 2017.

Postod Corba248 » Ponedeljak, 19. Jun 2017, 16:38

Da dodam i ja još jedan način koji je malo komplikovaniji. Pomoću determinanti. Ovaj sistem je dosta isplativiji kada se radi o sistemu linearnih jednačina sa tri nepoznate, ali je jednako primenljiv i na onaj sa dve (kao što je ovaj u zadatku).
Ako imamo sistem od dve linearne jednačine sa dve nepoznate [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]a_1x+b_1y=c_1\\
a_2x+b_2y=c_2[/dispmath] Determinanta ovog sistema je:
[dispmath]\Delta=\begin{vmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1[/dispmath] Dok su pomoćne determinante:
[dispmath]\Delta_x=\begin{vmatrix}
c_1 & b_1\\
c_2 & b_2
\end{vmatrix}=c_1b_2-c_2b_1\\
\Delta_y=\begin{vmatrix}
a_1 & c_1\\
a_2 & c_2
\end{vmatrix}=a_1c_2-a_2c_1[/dispmath] Rešenje našeg sistema je uređeni par:
[dispmath](x,y)=\left(\frac{\Delta_x}{\Delta},\frac{\Delta_y}{\Delta}\right)[/dispmath] Da bi sistem imao beskonačno mnogo rešenja potrebno je da važi:
[dispmath]\Delta=\Delta_x=\Delta_y=0[/dispmath] Da dodam i za ostale situacije, ako je [inlmath]\Delta\ne0[/inlmath] sistem ima jedinstveno rešenje, a ako je [inlmath]\Delta=0[/inlmath] i [inlmath]\Delta_x\ne0\lor\Delta_y\ne0[/inlmath] onda je sistem nemoguć, tj. nema realnih rešenja.

Dakle, u ovom konkretnom zadatku bilo bi:
[dispmath]\Delta=\begin{vmatrix}
a & -6\\
1 & b
\end{vmatrix}=ab+6\\
\Delta_x=\begin{vmatrix}
8 & -6\\
4 & b
\end{vmatrix}=8(b+3)\\
\Delta_y=\begin{vmatrix}
a & 8\\
1 & 4
\end{vmatrix}=4(a-2)[/dispmath] Da bi ovaj sistem imao beskonačno mnogo rešenja potrebno je da [inlmath]\Delta_x=0[/inlmath], odnosno [inlmath]\enclose{box}{b=-3}[/inlmath] i [inlmath]\Delta_y=0[/inlmath] odnosno [inlmath]\enclose{box}{a=2}[/inlmath]. Samim tim je i [inlmath]\Delta=0[/inlmath].

P. S. @Nađa: kada hoćeš nešto u Latex-u da napišeš u novom redu ne moraš opet kliktati na equation tag nego sve možeš napisati u okviru jednog tako što ćeš na kraj reda staviti \\. Na taj način se smanjuje razmak između redova. Sad sam ti prepravio, pa možeš da vidiš kako izgleda ukoliko na svom postu klikneš na "Citiraj".
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

  • +1

Re: Sistem jednacina – probni MATF 2017.

Postod Daniel » Utorak, 20. Jun 2017, 09:35

Corba248 je napisao:P. S. @Nađa: kada hoćeš nešto u Latex-u da napišeš u novom redu ne moraš opet kliktati na equation tag nego sve možeš napisati u okviru jednog tako što ćeš na kraj reda staviti \\. Na taj način se smanjuje razmak između redova. Sad sam ti prepravio, pa možeš da vidiš kako izgleda ukoliko na svom postu klikneš na "Citiraj".

Mada, onda kada želimo da bude nešto veći prored kako redovi ne bi bili previše priljubljeni jedan uz drugi, može i ovako kako je Nađa pisala (equation-tagovi jedan za drugim u produžetku), a mogu se i unutar istog equation-taga koristiti i tri backslasha, npr:
2+3=5\\\
\\\
3+4=7

Kako se kome više sviđa...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Bing [Bot] i 42 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 13:18 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs