Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Vrednost izraza – prijemni ETF 2017.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]
  • +1

Vrednost izraza – prijemni ETF 2017.

Postod Nađa » Utorak, 11. Jul 2017, 06:15

3. zadatak
Ako je [inlmath]x+\frac{1}{x}=3[/inlmath] i [inlmath]\left(x\in\mathbb{R}^+\right)[/inlmath], tada je [inlmath]\sqrt[4]x+\frac{1}{\sqrt[4]x}[/inlmath] jednako:
[inlmath]A)\quad\sqrt{2+\sqrt5}[/inlmath]

[inlmath]B)\quad\sqrt[4]5[/inlmath]

[inlmath]C)\quad\sqrt3[/inlmath]

[inlmath]D)\quad\sqrt[4]3[/inlmath]

[inlmath]E)\quad\sqrt{1+\sqrt3}[/inlmath]

Neka je [inlmath]\sqrt[4]x+\frac{1}{\sqrt[4]x}=a[/inlmath]
Kada se taj izraz iskvadrira dobija se
[dispmath]\sqrt x+2+\frac{1}{\sqrt x}=a^2\\
\sqrt x+\frac{1}{\sqrt x}=a^2-2[/dispmath] Opet se sve iskvadrira
[dispmath]x+2+\frac{1}{x}=\left(a^2-2\right)^2[/dispmath] Zamenimo u jednacini cemu je jednako [inlmath]x+\frac{1}{x}=3[/inlmath]
[dispmath]5=\left(a^2-2\right)^2[/dispmath] Odnosno
[dispmath]a^2-2=\sqrt5[/dispmath] Zbog cega nisam stavila [inlmath]\pm\sqrt5[/inlmath], zato sto kada sam uzela da je izraz [inlmath]\sqrt[4]x+\frac{1}{\sqrt[4]x}=a[/inlmath] odmah znamo da [inlmath]a[/inlmath] ne sme da bude negativno jer cetvrti koren (ili bilo kog drugog parnog korena) negativnog broja ne pripada skupu realnih brojeva, a uostalom na pocetku zadatka je receno da [inlmath]x\in\mathbb{R}^+[/inlmath] tako da je [inlmath]x[/inlmath] uvek pozitivan broj, te je i koren uvek pozitivan...Dalje resavam:
[dispmath]a^2=\sqrt5+2\\
a=\sqrt{\sqrt5+2}=\enclose{box}{\sqrt{2+\sqrt5}}[/dispmath]
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 255
Zahvalio se: 137 puta
Pohvaljen: 108 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Vrednost izraza – prijemni ETF 2017.

Postod Daniel » Utorak, 11. Jul 2017, 08:00

Nađa je napisao:[dispmath]5=\left(a^2-2\right)^2[/dispmath] Odnosno
[dispmath]a^2-2=\sqrt5[/dispmath] Zbog cega nisam stavila [inlmath]\pm\sqrt5[/inlmath], zato sto kada sam uzela da je izraz [inlmath]\sqrt[4]x+\frac{1}{\sqrt[4]x}=a[/inlmath] odmah znamo da [inlmath]a[/inlmath] ne sme da bude negativno jer cetvrti koren (ili bilo kog drugog parnog korena) negativnog broja ne pripada skupu realnih brojeva, a uostalom na pocetku zadatka je receno da [inlmath]x\in\mathbb{R}^+[/inlmath] tako da je [inlmath]x[/inlmath] uvek pozitivan broj, te je i koren uvek pozitivan...

Da budemo precizniji, [inlmath]a^2-2[/inlmath] može biti i negativan broj (iako [inlmath]a[/inlmath] mora biti pozitivno), ali ako bismo pisali [inlmath]a^2-2=\pm\sqrt5[/inlmath], tada bi bilo [inlmath]a^2=2\pm\sqrt5[/inlmath], ali pošto je [inlmath]2-\sqrt5[/inlmath] negativan broj a [inlmath]a^2[/inlmath], kao ni bilo koji kvadrat realnog broja, ne može biti negativan, rešenje [inlmath]2-\sqrt5[/inlmath] otpada.



Može se uraditi i bez uvođenja oznake [inlmath]a[/inlmath]. Na [inlmath]x+\frac{1}{x}[/inlmath] primenimo formulu za kvadrat binoma:
[dispmath]3=x+\frac{1}{x}=x+2+\frac{1}{x}-2=\left(\sqrt x+\frac{1}{\sqrt x}\right)^2-2\quad\Longrightarrow\quad\left(\sqrt x+\frac{1}{\sqrt x}\right)^2=5\quad\Longrightarrow\quad\sqrt x+\frac{1}{\sqrt x}=\pm\sqrt5[/dispmath] ali pošto je [inlmath]\sqrt x+\frac{1}{\sqrt x}>0[/inlmath], negativno rešenje odbacujemo i ostaje samo
[dispmath]\sqrt x+\frac{1}{\sqrt x}=\sqrt5[/dispmath] Zatim primenimo isti postupak kao malopre,
[dispmath]\sqrt5=\sqrt x+\frac{1}{\sqrt x}=\sqrt x+2+\frac{1}{\sqrt x}-2=\left(\sqrt[4]x+\frac{1}{\sqrt[4]x}\right)^2-2\quad\Longrightarrow\quad\left(\sqrt[4]x+\frac{1}{\sqrt[4]x}\right)^2=2+\sqrt5\\
\Longrightarrow\quad\sqrt[4]x+\frac{1}{\sqrt[4]x}=\pm\sqrt{2+\sqrt5}[/dispmath] ali pošto je [inlmath]\sqrt[4]x+\frac{1}{\sqrt[4]x}>0[/inlmath], negativno rešenje odbacujemo i ostaje samo
[dispmath]\enclose{box}{\sqrt[4]x+\frac{1}{\sqrt[4]x}=\sqrt{2+\sqrt5}}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 31 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 13:51 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs