3. zadatak
Ako je [inlmath]x+\frac{1}{x}=3[/inlmath] i [inlmath]\left(x\in\mathbb{R}^+\right)[/inlmath], tada je [inlmath]\sqrt[4]x+\frac{1}{\sqrt[4]x}[/inlmath] jednako:
[inlmath]A)\quad\sqrt{2+\sqrt5}[/inlmath]
[inlmath]B)\quad\sqrt[4]5[/inlmath]
[inlmath]C)\quad\sqrt3[/inlmath]
[inlmath]D)\quad\sqrt[4]3[/inlmath]
[inlmath]E)\quad\sqrt{1+\sqrt3}[/inlmath]
Neka je [inlmath]\sqrt[4]x+\frac{1}{\sqrt[4]x}=a[/inlmath]
Kada se taj izraz iskvadrira dobija se
[dispmath]\sqrt x+2+\frac{1}{\sqrt x}=a^2\\
\sqrt x+\frac{1}{\sqrt x}=a^2-2[/dispmath] Opet se sve iskvadrira
[dispmath]x+2+\frac{1}{x}=\left(a^2-2\right)^2[/dispmath] Zamenimo u jednacini cemu je jednako [inlmath]x+\frac{1}{x}=3[/inlmath]
[dispmath]5=\left(a^2-2\right)^2[/dispmath] Odnosno
[dispmath]a^2-2=\sqrt5[/dispmath] Zbog cega nisam stavila [inlmath]\pm\sqrt5[/inlmath], zato sto kada sam uzela da je izraz [inlmath]\sqrt[4]x+\frac{1}{\sqrt[4]x}=a[/inlmath] odmah znamo da [inlmath]a[/inlmath] ne sme da bude negativno jer cetvrti koren (ili bilo kog drugog parnog korena) negativnog broja ne pripada skupu realnih brojeva, a uostalom na pocetku zadatka je receno da [inlmath]x\in\mathbb{R}^+[/inlmath] tako da je [inlmath]x[/inlmath] uvek pozitivan broj, te je i koren uvek pozitivan...Dalje resavam:
[dispmath]a^2=\sqrt5+2\\
a=\sqrt{\sqrt5+2}=\enclose{box}{\sqrt{2+\sqrt5}}[/dispmath]