Pozdrav, evo jedan zadatak koji bih podelio sa vama ...
Resiti jednacinu:
[dispmath]x^{\log_3(x-1)}+2(x-1)^{\log_3x}=3x^2[/dispmath][dispmath]x\ne0;\;x>1[/dispmath] Resenje:
[dispmath]x^{\log_3(x-1)}+2(x-1)^{\log_3x}=3x^2[/dispmath] Uvodimo smenu da je
[dispmath]y=(x-1)^{\log_3x}[/dispmath] Kada ovu jednakost logaritmujemo sa bazom [inlmath]3[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\log_3y=\log_3x\cdot\log_3(x-1)\\
\log_3y=\log_3x^{\log_3(x-1)}[/dispmath] Odnosno:
[dispmath]y=x^{\log_3(x-1)}[/dispmath] Sada se vratimo u pocetnu jednacinu:
[dispmath]x^{\log_3(x-1)}+2\underbrace{(x-1)^{\log_3x}}=3x^2\\
(x-1)^{\log_3x}=y=x^{\log_3(x-1)}[/dispmath] Sada uvrstavamo smenu u datu jednacinu:
[dispmath]x^{\log_3(x-1)}+2x^{\log_3(x-1)}=3x^2\\
3 x^{\log_3(x-1)}=3x^2\\
x^{\log_3(x-1)}=x^2\\
\log_3(x-1)=2\\
\log_3(x-1)=\log_39\\
x-1=9\\
x=10[/dispmath]