Zadaci sa "celim delom" su uvek zanimljivi, bar meni . Evo jednog takvog zadatka:
Zadatak: Dokazati da jednačina [inlmath]\left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor2x\right\rfloor+\left\lfloor4x\right\rfloor+\left\lfloor8x\right\rfloor+\left\lfloor16x\right\rfloor+\left\lfloor32x\right\rfloor=12345[/inlmath], nema rešenja u skupu realnih brojeva.
Časopis Tangetna (broj: 84/4; godina: 2015/2016, Nagradni zadaci)
Moj način (možda je previše komplikovan i postupan, ali je efikasan):
[inlmath]\left\lfloor x\right\rfloor=c[/inlmath], ceo deo
[inlmath]x=c+d[/inlmath], [inlmath]d[/inlmath] je preostali deo broja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]0\le d<1[/inlmath]
Razmatraćemo sledećih [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti:
[dispmath]\begin{align}
&1)\;0\le d<\frac{1}{32}\\
\\
&2)\;\frac{1}{32}\le d<\frac{1}{16}\\
\\
&3)\;\frac{1}{16}\le d<\frac{1}{8}\\
\\
&4)\;\frac{1}{8}\le d<\frac{1}{4}\\
\\
&5)\;\frac{1}{4}\le d<\frac{1}{2}\\
\\
&6)\;\frac{1}{2}\le d<1
\end{align}[/dispmath] Nećemo uzimati u obzir mogućnost da je [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]2x[/inlmath], [inlmath]4x[/inlmath], ... manje od nule, jer bi i njihovi celi delovi u zbiru bili manji od nule, što odmah iz jednačine vidimo da ne važi; tj. već znamo da u skupu negativnih realnih brojeva jednačina nema rešenja. Dokazivaćemo za skup pozitivnih realnih brojeva.
[inlmath]1)\;0\le d<\frac{1}{32}[/inlmath] Ako je [inlmath]d[/inlmath] u ovom intervalu polazna jednačina će izgledati ovako:
[dispmath]c+2c+4c+8c+16c+32c=12345[/dispmath] [inlmath]63c=12345[/inlmath] (očigledno, [inlmath]c[/inlmath] ovde nije ceo broj, pa smo dokazali da polazna jednačina nema rešenja kada je [inlmath]d[/inlmath] u ovom intervalu).
[inlmath]2)\;\frac{1}{32}\le d<\frac{1}{16}[/inlmath]
[dispmath]c+2c+4c+8c+16c+32c+1=12345[/dispmath] [inlmath]63c=12344[/inlmath] (ni ovde se za [inlmath]c[/inlmath] ne dobija ceo broj, i na ovom intervalu za [inlmath]d[/inlmath] jednačina nema rešenja).
[inlmath]3)\;\frac{1}{16}\le d<\frac{1}{8}[/inlmath]
[dispmath]c+2c+4c+8c+16c+1+32c+*=12345[/dispmath] (na mestu [inlmath]*[/inlmath] mogu stajati brojevi [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath]; jer je [inlmath]d[/inlmath] na datom intervalu, počev od [inlmath]\frac{2}{32}[/inlmath] do [inlmath]\frac{4}{32}[/inlmath])
To je tri „podmogućnosti“ za mogućnost [inlmath]3[/inlmath] i ni jedna od njih rešavanjem ne daje ceo broj za [inlmath]c[/inlmath].
Naime, svaki put se pri rešavanju broj nešto manji od [inlmath]12345[/inlmath] deli sa [inlmath]63[/inlmath]. Da bismo olakšali dalje rešavanje, pošto će biti sve više „podmogućnosti“, lako nalazimo da je prvi broj, koji je manji od [inlmath]12345[/inlmath], a deljiv sa [inlmath]63[/inlmath] – broj [inlmath]12285[/inlmath] (tj. [inlmath]12345-60[/inlmath]). Kada god budemo dobili različito od [inlmath]60[/inlmath] (odnosno od [inlmath]123[/inlmath], [inlmath]186[/inlmath], itd.) sa leve strane ([inlmath]63c+..^{<60}..[/inlmath]), znaćemo da [inlmath]c[/inlmath] nije ceo broj.
[inlmath]4)\;\frac{1}{8}\le d<\frac{1}{4}[/inlmath] Polazna jednačina u ovom slučaju izgledaće ovako:
[dispmath]c+2c+4c+8c+1+16c+*+32c+**=12345[/dispmath] Umesto [inlmath]*[/inlmath] može [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath], a umesto [inlmath]**[/inlmath] [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath]
To je ukupno [inlmath]2\cdot4=8[/inlmath] podmogućnosti. „Najveća“ od njih je [inlmath]63c+(1+3+7)=12345[/inlmath], tj. [inlmath]63c+11=12345[/inlmath], i po gore utvrđenom sistemu, [inlmath]11[/inlmath] je manje od [inlmath]60[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] ni ovde neće biti ceo broj, kao ni za ostalih [inlmath]7[/inlmath] podmogućnosti.
[inlmath]5)\;\frac{1}{4}\le d<\frac{1}{2}[/inlmath]
[dispmath]c+2c+4c+1+8c+*+16c+**+32c+***=12345[/dispmath] [inlmath]*[/inlmath] : [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]**[/inlmath] : [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath], [inlmath]***[/inlmath] : [inlmath]8[/inlmath], [inlmath]9[/inlmath], [inlmath]10[/inlmath], [inlmath]11[/inlmath], [inlmath]12[/inlmath], [inlmath]13[/inlmath], [inlmath]14[/inlmath] ili [inlmath]15[/inlmath]
Ukupno: [inlmath]2\cdot4\cdot8=64[/inlmath] podmogućnosti; a „najveća“ je [inlmath]63c+26=12345[/inlmath]. Za nju kao ni za preostale [inlmath]63[/inlmath] neće se dobiti ceo broj za [inlmath]c[/inlmath].
[inlmath]6)\;\frac{1}{2}\le d<1[/inlmath]
[dispmath]c+2c+1+4c+*+8c+**+16c+***+32c+****=12345[/dispmath] [inlmath]*[/inlmath] : [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]**[/inlmath] : [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath], [inlmath]***[/inlmath] : od [inlmath]8[/inlmath] do [inlmath]15[/inlmath], [inlmath]****[/inlmath] : od [inlmath]16[/inlmath] do [inlmath]31[/inlmath]
Ukupno: [inlmath]2\cdot4\cdot8\cdot16=1024[/inlmath] podmogućnosti
Najveća je [inlmath]63c+(1+3+7+15+31)=12345[/inlmath], tj. [inlmath]63c+57=12345[/inlmath]. ([inlmath]57<60[/inlmath]) Ovde [inlmath]c[/inlmath] nije ceo broj, kao ni za sve ostale podmogućnosti, tj. za čitavu mogućnost [inlmath]6[/inlmath].
I time je dokazano da polazna jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva, jer su rešavanjem obuhvaćene sve mogućnosti intervala na kome može biti „ne ceo deo“ broja [inlmath]x[/inlmath] (tj. [inlmath]d[/inlmath]), i ni u jednom slučaju nije dobijen ceo broj za [inlmath]c[/inlmath].
Moguće da sam negde napravio grešku, zbog previše teksta