miletrans je napisao:Svaka čast na postavljenom pitanju, nije baš čest slučaj da novi korisnik u prvom postu koristi LaTex, a pri tom si još i izložio svoju ideju.
Pridružujem se pohvalama.
Dobrodošlica i od mene.
U redu je rešenje koje je ponuđeno. Al' haj'mo redom. Prvo, izraz na levoj strani uopšte i ne mora biti kvadratna funkcija da bi nejednakost bila zadovoljena za svako [inlmath]x[/inlmath]. U slučaju linearne funkcije, naravno, ne možemo ostvariti pozitivnost za svako [inlmath]x[/inlmath], ali ako bi na levoj strani bila konstanta, i to pozitivna, onda bi nejednakost bila uvek zadovoljena. A leva strana će biti pozitivna konstanta onda kada je [inlmath]m=1[/inlmath]. Dakle, [inlmath]m=1[/inlmath] je jedno rešenje.
Za preostale vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath], koeficijent uz kvadratni član će uvek biti pozitivan.
Dalje, nikako ne preporučujem razvijanje diskriminatne na ovaj način,
Tinker je napisao:[inlmath]192m^4+128m^3-576m^2+256\ge0[/inlmath]
ništa lakše nego se pogubiti među ovim ogromnim brojevima. Umesto od toga, krenemo od nejednačine [inlmath]D<0[/inlmath], tj.
[dispmath]16^2\left(m^2-1\right)^2-4\cdot16m^2(m-1)^2<0[/dispmath] (dakle, ništa ne množimo). Podelimo obe strane sa [inlmath]4\cdot16[/inlmath], faktor [inlmath]\left(m^2-1\right)^2[/inlmath] razložimo kao razliku kvadrata, dobijemo
[dispmath]4(m-1)^2(m+1)^2-m^2(m-1)^2<0[/dispmath] Budući da smo slučaj [inlmath]m=1[/inlmath] već razmotrili, tj. ovo sad radimo za slučaj [inlmath]m\ne1[/inlmath], faktor [inlmath](m-1)[/inlmath] će biti različit od nule, a [inlmath](m-1)^2[/inlmath] će biti strogo pozitivan, pa možemo obe strane podeliti tim faktorom, ne menjajući smer znaka nejednakosti:
[dispmath]4(m+1)^2-m^2<0[/dispmath] Složićeš se da je ovo sad mnogo lakše za rešavanje.
Naravno, odavde se dobije kvadratna nejednačina [inlmath]3m^2+8m+4<0[/inlmath], čije rešenje je interval [inlmath]\left(-2,-\frac{2}{3}\right)[/inlmath].
Dakle, konačno rešenje glasi [inlmath]\left(-2,-\frac{2}{3}\right)\cup\{1\}[/inlmath], a to jeste
podskup ponuđenjog skupa [inlmath][-3,0]\cup\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath], tako da je to tačan odgovor.
Sve i da smo prevideli rešenje [inlmath]m=1[/inlmath] (a to jeste ozbiljna zamka u ovom zadatku), opet bi ponuđeni odgovor [inlmath][-3,0]\cup\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath] bio tačan, jer i sâm skup [inlmath]\left(-2,-\frac{2}{3}\right)[/inlmath] jeste
sadržan u skupu [inlmath][-3,0]\cup\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath].