Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Logaritamska/trigonometrijska jednacina – ETF prijemni 2015.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Logaritamska/trigonometrijska jednacina – ETF prijemni 2015.

Postod diopo » Subota, 17. Mart 2018, 16:26

Prijemni ispit ETF - 2015
19. zadatak:


Jedno od realnih rešenja jednačine
[dispmath]\log_{\cos x}\sin x=4\log_{\sin x}\cos x[/dispmath] pripada intervalu:

[inlmath]\displaystyle A)\;\left(0,\frac{\pi}{6}\right]\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\enclose{box}{B)}\;\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right]\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right]\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle D)\;\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\left[\frac{5\pi}{6},\pi\right)\quad[/inlmath]

Pretpostavljam da je i ovaj uradjen ovde, ali nisam ga nasao, a takodje ni pored tog zadatka ne postoji link za resenje.

Postavio sam uslove za sinus i kosinus (da budu veci od [inlmath]0[/inlmath]), ali sam kasnije dobio neke trigonometrijske jednacine u kojima sam se pogubio.. :facepalm:
Poslednji put menjao Daniel dana Sreda, 21. Mart 2018, 01:26, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dopuna zadatka ponuđenim odgovorima
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 45
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 15 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Logaritamska/trigonometrijska jednacina – ETF prijemni 2015.

Postod Daniel » Subota, 17. Mart 2018, 22:30

diopo je napisao:Postavio sam uslove za sinus i kosinus (da budu veci od [inlmath]0[/inlmath]),

I, takođe, da budu različiti od jedinice.

diopo je napisao:ali sam kasnije dobio neke trigonometrijske jednacine u kojima sam se pogubio.. :facepalm:

Da, dobiju se trigonometrijske jednačine, ali ih ne moraš sve rešavati, budući da u tekstu kaže jedno od rešenja.
Možeš napisati ovde te jednačine, ako hoćeš da proverimo da li si ih ispravno dobio...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3795 puta
Pohvaljen: 3953 puta

  • +1

Re: Logaritamska/trigonometrijska jednacina – ETF prijemni 2015.

Postod Tinker » Subota, 17. Mart 2018, 22:33

Pa ovako, prvo ćeš postaviti uslove da ti je [inlmath]\cos x\neq1,\;\cos x>0[/inlmath] i [inlmath]\sin x\neq1,\;\sin x>0[/inlmath] i primenićeš osobinu logaritma [inlmath]\log_{\sin x}\cos x=\frac{1}{\log_{\cos x}\sin x}[/inlmath]. I ubaci uslov da ti je [inlmath]\log_{\cos x}\sin x\neq0[/inlmath]

Aj evo ti hint pa odavde probaj sam, ako bude problema kaži pa da pomažemo dalje. :D
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 76
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 32 puta

Re: Logaritamska/trigonometrijska jednacina – ETF prijemni 2015.

Postod diopo » Utorak, 20. Mart 2018, 19:03

Prvo, da se izvinim na zakasnjenju, nisam bio u mogucnosti da odgovorim ranije.

Sto se tice zadatka, da postavio sam sve te uslove i dobija se
[dispmath]x\in\left(2k\pi,\;\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)[/dispmath] Zatim sam primenio osobinu logaritma i dobio [inlmath]\frac{1}{\log_{\sin x}\cos x}=4\log_{\sin x}\cos x[/inlmath] Postavio uslove da imenilac ne sme da bude [inlmath]0[/inlmath], uveo smenu i zatim pomnozio sve imeniocem.
[dispmath]4(\log_{\sin x}\cos x)^2=1[/dispmath] odatle se dobija: [inlmath]\log_{\sin x}\cos x=\pm\frac{1}{2}[/inlmath], onda odatle dobijam jednacine
[dispmath]\sqrt{\sin x}=\cos x[/dispmath] i
[dispmath]\frac{1}{\sqrt{\sin x}}=\cos x[/dispmath] resenje prve jednacine mi je
[dispmath]\frac{-1\pm\sqrt5}{2}[/dispmath] a u drugoj dobijam [inlmath]3.[/inlmath] stepen i ne znam sta da radim...
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 45
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 15 puta

  • +1

Re: Logaritamska/trigonometrijska jednacina – ETF prijemni 2015.

Postod Daniel » Sreda, 21. Mart 2018, 01:26

Sve si dobro uradio, samo imam par sitnijih primedbi/dopuna:

diopo je napisao:i dobio [inlmath]\frac{1}{\log_{\sin x}\cos x}=4\log_{\sin x}\cos x[/inlmath] Postavio uslove da imenilac ne sme da bude [inlmath]0[/inlmath],

Ne moraš postavljati taj uslov, budući da si već postavio uslov da je [inlmath]\cos x\ne1[/inlmath], pa samim tim [inlmath]\log_{\sin x}\cos x[/inlmath], koji se nalazi u imeniocu, ne može biti nula.

diopo je napisao:resenje prve jednacine mi je
[dispmath]\frac{-1\pm\sqrt5}{2}[/dispmath]

Treba naglasiti da je to rešenje po [inlmath]\sin x[/inlmath]. E sad, zbog uslova [inlmath]\sin x>0[/inlmath], rešenje [inlmath]\frac{-1-\sqrt5}{2}[/inlmath] otpada i ostaje samo [inlmath]\frac{\sqrt5-1}{2}[/inlmath].



Što se tiče tvog pitanja – jednačinu trećeg stepena nemoj ni da gledaš, nije ti potrebna. Jer, kao što gore napisah, pitanje u zadatku glasi kom intervalu pripada jedno od rešenja jednačine. A ti si ovde već dobio jedno od realnih rešenja, jer jednačina [inlmath]\sin x=\frac{\sqrt5-1}{2}[/inlmath] daje realno rešenje po [inlmath]x[/inlmath], a ponuđeni intervali od [inlmath]A)[/inlmath] do [inlmath]D)[/inlmath] zajedno pokrivaju sve vrednosti od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] (u kojem se rešenje mora nalaziti zbog postavljenih uslova), tako da se ovo rešenje sigurno mora nalaziti u jednom od tih intervala. Potrebno je samo odrediti u kom. (Ponuđeni interval pod [inlmath]E)[/inlmath] odmah eliminišemo jer bi u njemu kosinus bio negativan, što je protivno uslovima.)
Upravo zato, vrlo je bitan podatak koji su svi intervali ponuđeni u zadatku, zbog čega sam tvoj post i dopunio svim ponuđenim odgovorima.
Nema potrebe računati [inlmath]\arcsin\frac{\sqrt5-1}{2}[/inlmath] – umesto toga, pošto je na intervalu [inlmath]\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath] sinus rastuća funkcija, možemo naći sinuse svih tih granica ponuđenih intervala pa videti u kojem će se od tih novodobijenih intervala nalaziti [inlmath]\frac{\sqrt5-1}{2}[/inlmath], kao sinus nepoznate [inlmath]x[/inlmath].
Na primer: jedan od ponuđenih intervala je [inlmath]\Bigl(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\Bigr][/inlmath] (pod [inlmath]C)[/inlmath]). Hoću da ispitam da li se [inlmath]x[/inlmath] nalazi u tom intervalu, pri čemu znam da je [inlmath]\sin x=\frac{\sqrt5-1}{2}[/inlmath]. Tražim sinuse od granica intervala [inlmath]\Bigl(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\Bigr][/inlmath] i dobijem interval [inlmath]\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right][/inlmath]. To je približno interval [inlmath](0,71,\;0,87)[/inlmath]. Upoređujem sa [inlmath]\frac{\sqrt5-1}{2}[/inlmath], koje približno iznosi [inlmath]0,62[/inlmath]. Vidimo da je to vrednost koja se nalazi ispod pretpostavljenog intervala. Pokušam sada s ponuđenim intervalom pod [inlmath]A)[/inlmath], koji glasi [inlmath]\Bigl(0,\frac{\pi}{6}\Bigr][/inlmath]. „Sinusovanjem“ granica dobijamo interval [inlmath]\Bigl(0,\frac{1}{2}\Bigr][/inlmath]. Sada se naša vrednost [inlmath]0,62[/inlmath] nalazi iznad tog intervala, što znači da se mora nalaziti između dva isprobana intervala, a to je interval pod [inlmath]B)[/inlmath], [inlmath]\Bigl(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\Bigr][/inlmath]. I zaista, nakon „sinusovanja“ njegovih granica, dobijamo interval [inlmath]\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right][/inlmath], tj. približno [inlmath](0,5,\;0,71)[/inlmath] i vidimo da [inlmath]0,62[/inlmath] „upada“ u taj interval.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3795 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Logaritamska/trigonometrijska jednacina – ETF prijemni 2015.

Postod diopo » Sreda, 21. Mart 2018, 22:27

Hvala puno. Pretpostavljam da sam mogao i sam eliminacijom da dodjem do resenja, ali sam bio lenj jer sam se nadao da postoji neko elegantno lepo resenje.. :thumbup:
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 45
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 15 puta

Re: Logaritamska/trigonometrijska jednacina – ETF prijemni 2015.

Postod Tinker » Četvrtak, 22. Mart 2018, 14:19

@diopo do rešenja si mogao doći i tako što bi ucrtao [inlmath]\sin x=\frac{\sqrt5-1}{2}[/inlmath] na trigonometrijski krug i video da imaš rešenja u prvom i drugom kvadrantu (jer je i sam sinus tu pozitivan) i utvrdio da ti se rešenje nalazi u datom intervalu, jer se tebi traži jedno od realnih, a ne ukupan broj ili svako rešenje jednačine. :)



Elem, kada smo već kod ovoga, ja imam jedan sličan zadatak koji sam rešio i dobio tačno rešenje, ali nisam siguran u njegovu validnost, pa ako nije problem da proverim to sa vama samo. :D
Reč je o 14. zadatku sa MATF - 2017. prijemnog ispita koji glasi:

Broj rešenja jednačine [inlmath]\tan x=\cos x[/inlmath] u intervalu [inlmath][-\pi,\pi][/inlmath] je:
Tačan odgovor je [inlmath]2[/inlmath].

Ova jednačina naravno nije nešto posebno kompleksna za rešiti, iz čega dobijam rešenja da je [inlmath]\sin x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}[/inlmath].
Odavde odbacujem rešenje [inlmath]\sin x=\frac{-1-\sqrt5}{2}[/inlmath] jer je ono manje od [inlmath]-1[/inlmath], i ostaje mi samo [inlmath]\sin x=\frac{-1+\sqrt5}{2}\approx0.6[/inlmath].
Da li mogu da upotrebim metodu koju sam predložio malo ranije u ovom postu, i ucrtam vrednost [inlmath]0.6[/inlmath] na trigonometrijskom krugu, i vidim da tu postoje [inlmath]2[/inlmath] rešenja u intervalu [inlmath][-\pi,\pi][/inlmath]?

Ova dva zadatka su u principu ista, samo što se u njegovom traži kom intervalu pripada jedno od rešenja, a meni se traži broj rešenja u intervalu. :D
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 76
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 32 puta

  • +1

Re: Logaritamska/trigonometrijska jednacina – ETF prijemni 2015.

Postod Daniel » Četvrtak, 22. Mart 2018, 23:52

Tinker je napisao:Da li mogu da upotrebim metodu koju sam predložio malo ranije u ovom postu, i ucrtam vrednost [inlmath]0.6[/inlmath] na trigonometrijskom krugu, i vidim da tu postoje [inlmath]2[/inlmath] rešenja u intervalu [inlmath][-\pi,\pi][/inlmath]?

Da, sasvim okej. :mhm:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3795 puta
Pohvaljen: 3953 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 14 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 15. Oktobar 2018, 20:09 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs