Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Dokaži da jednačina nema rješenja?

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Dokaži da jednačina nema rješenja?

Postod jorga01 » Ponedeljak, 26. Mart 2018, 22:30

Zdravo! :D

Trebam pomoć oko zadatka sa državnog takmičenja iz 1992.
Zadatak glasi:

Dokaži, da jednačina [inlmath](3x+y)^2+y^2=1111[/inlmath] nema rješenja u skupu cijelih brojeva.

E sad, moj način razmišljanja je da je broj [inlmath]1111[/inlmath] djeljiv samo sa [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]11[/inlmath], [inlmath]101[/inlmath] te [inlmath]1111[/inlmath] i pokušao sam nagađati [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] te tako dokazati da ih je nemoguće pronaći. Ali rešenja u zbirci kažu nešto sasvim drugačije (Pokazaćemo da lijeva i desna strana imaju različit ostatak pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] itd.).

Hvala na svakom vidu pomoći! :thumbup:
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 26. Mart 2018, 23:40, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje inlinemath-tagova
Korisnikov avatar
jorga01  OFFLINE
 
Postovi: 39
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokaži da jednačina nema rješenja?

Postod Daniel » Ponedeljak, 26. Mart 2018, 23:40

Zdravo.
Nisam najbolje razumeo šta zapravo treba da ti se pomogne, budući da već imaš kod sebe rešenje kako se radi. S tim uputstvom koje si naveo, zadatak se uradi u par redova – razvije se kvadrat binoma i posmatraju se slučajevi [inlmath]y=3k[/inlmath], [inlmath]y=3k+1[/inlmath] i [inlmath]y=3k+2[/inlmath]. Naravno, odredi se i ostatak pri deljenju desne strane sa [inlmath]3[/inlmath].
Ako se i dalje ne snalaziš, napiši ovde to rešenje koje imaš, naznači delove koji ti nisu jasni – i pojasničemo. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7305
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta

  • +1

Re: Dokaži da jednačina nema rješenja?

Postod Corba248 » Utorak, 27. Mart 2018, 00:29

Nema čak ni potrebe za razvijanjem kvadrata binoma, jer će oba sabirka imati isti ostatak pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath], što znači da će njihov zbir davati paran ostatak pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] (odnosno [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]2[/inlmath]), dok broj [inlmath]1111[/inlmath] daje ostatak [inlmath]1[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath].

Alternativno, ako se ne bismo setili deljenja trojkom pošto je [inlmath]1111[/inlmath] relativno mali broj, mogli smo ispitati sve moguće zbirove kvadrata koji zadovoljavaju jednakost (ako ih ima) i onda "peške" utvrdili da jednačina nema rešenja. Naravno, preporučljiv je prvi način.
Moderator
 
Postovi: 282
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 311 puta

Re: Dokaži da jednačina nema rješenja?

Postod jorga01 » Utorak, 27. Mart 2018, 22:02

Najprije, hvala obojici na odgovoru. :thumbup:

Što se tiče, rješenja ono glasi:

Pokazaćemo, da lijeva i desna strana imaju različit ostatak pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath]. To će značiti da jednačina nema rešenja. (Odmah na početku mi je nejasno zašto baš moramo provjeriti koji je ostatak pri dijeljenju s 3, zašto baš tri, u suštini to me najviše zbunjuje - kakve veze ima ostatak pri dijeljenju s 3.) Kvadrat cijelog broja može imati pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] ostatak [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath]. Broj [inlmath]3x+y[/inlmath] ima isti ostatak pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] kao i [inlmath]y[/inlmath], zato lijeva i desna strana ne mogu dati ostatka [inlmath]1[/inlmath] pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] (Isto, zbunjujuće, na osnovu čega je to utvrđeno?); takav ostatak će dati desna strana, jer je [inlmath]1111=370\cdot3+1[/inlmath].

U suštini, vjerujem da zadatak nije toliko težak, ali rešenje samo po sebi je nepotpuno razjašnjeno (moje mišljenje).

Hvala još jednom na svakom vidu pomoći! :wink2:
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 27. Mart 2018, 23:19, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje inlinemath-tagova
Korisnikov avatar
jorga01  OFFLINE
 
Postovi: 39
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Dokaži da jednačina nema rješenja?

Postod Daniel » Sreda, 28. Mart 2018, 00:11

jorga01 je napisao:Pokazaćemo, da lijeva i desna strana imaju različit ostatak pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath]. To će značiti da jednačina nema rešenja. (Odmah na početku mi je nejasno zašto baš moramo provjeriti koji je ostatak pri dijeljenju s 3, zašto baš tri, u suštini to me najviše zbunjuje - kakve veze ima ostatak pri dijeljenju s 3.)

Odgovor na ovo pitanje imaš dalje u tekstu rešenja, u rečenici „Broj [inlmath]3x+y[/inlmath] ima isti ostatak pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] kao i [inlmath]y[/inlmath]“. Naime, pošto [inlmath]x[/inlmath] figuriše samo u okviru sabirka [inlmath]3x[/inlmath] koji je uvek deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], jasno je da vrednost [inlmath]x[/inlmath] nema uticaja na ostatak pri deljenju leve strane sa [inlmath]3[/inlmath]. Zbog toga je najzgodnije (ako ne i jedini način da se zadatak reši) posmatrati ostatak pri deljenju leve strane baš sa [inlmath]3[/inlmath].

jorga01 je napisao:Kvadrat cijelog broja može imati pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] ostatak [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath]. Broj [inlmath]3x+y[/inlmath] ima isti ostatak pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] kao i [inlmath]y[/inlmath], zato lijeva i desna strana ne mogu dati ostatka [inlmath]1[/inlmath] pri dijeljenju s [inlmath]3[/inlmath] (Isto, zbunjujuće, na osnovu čega je to utvrđeno?);

Ovo crveno zaista jeste zbunjujuće. Desna strana daje ostatak [inlmath]1[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] (što uostalom i piše u poslednjoj rečenici rešenja). Umesto ovog crvenog smislenije bi bilo da piše zbir sabiraka na levoj strani, ili tako nešto. Jer, pošto [inlmath]y^2[/inlmath] može pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] dati ostatak [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath], a [inlmath]3x+y[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] daju isti ostatak pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath], pa samim tim i [inlmath](3x+y)^2[/inlmath] i [inlmath]y^2[/inlmath] daju isti ostatak pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath], imamo dva slučaja: prvi slučaj, da [inlmath]y^2[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] daje ostatak [inlmath]0[/inlmath], tada će oba sabirka na levoj strani dati ostatak [inlmath]0[/inlmath] pa će i njihov zbir dati ostatak [inlmath]0[/inlmath]; drugi slučaj, da [inlmath]y^2[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] daje ostatak [inlmath]1[/inlmath], tada će oba sabirka na levoj strani dati ostatak [inlmath]1[/inlmath] pa će njihov zbir dati ostatak [inlmath]2[/inlmath]. Prema tome, ni u kom slučaju leva strana ne može pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] dati ostatak [inlmath]1[/inlmath], za razliku od desne strane koja upravo kao ostatak pri deljenju sa [inlmath]3[/inlmath] daje [inlmath]1[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7305
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Dokaži da jednačina nema rješenja?

Postod jorga01 » Sreda, 28. Mart 2018, 16:39

Aaa, sad razumijem! :insane:

Najljepša hvala! :thumbup: :thumbup: :thumbup:
Korisnikov avatar
jorga01  OFFLINE
 
Postovi: 39
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 16 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 16. Oktobar 2018, 18:03 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs