Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

"Sistem" tri nejednačine?

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

"Sistem" tri nejednačine?

Postod jorga01 » Ponedeljak, 26. Mart 2018, 21:52

Zdravo! :D

Trebam pomoć oko zadatka sa državnog takmičenja iz 1992.
Zadatak glasi:

Koji realni brojevi (različiti od [inlmath]0[/inlmath]) [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] su odgovaraju nejednačinama:
[dispmath]\frac{1}{x}\cdot y\cdot z<-x+y+z[/dispmath][dispmath]\frac{1}{y}\cdot z\cdot x<-y+z+x[/dispmath][dispmath]\frac{1}{z}\cdot x\cdot y<-z+x+y[/dispmath] Prvo što sam uočio je da to ne mogu biti isti brojevi, jer ako je [inlmath]x=y[/inlmath] (recimo u prvoj jednačini), dobijemo [inlmath]z<z[/inlmath] što je, naravno nemoguće.
Takođe imam i rešenja koja su mi potpuno nejasna, uglavnom na kraju je dokazano da ne postoje takva tri broja.

Hvala na svakom vidu pomoći! :thumbup:
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 26. Mart 2018, 22:46, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje inlinemath-tagova
Korisnikov avatar
jorga01  OFFLINE
 
Postovi: 39
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: "Sistem" tri nejednačine?

Postod Daniel » Ponedeljak, 26. Mart 2018, 22:48

Slično kao i u ovom postu – napiši to rešenje koje imaš, i preciziraj šta u tom rešenju treba da ti se objasni.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: "Sistem" tri nejednačine?

Postod jorga01 » Utorak, 27. Mart 2018, 21:11

Hvala na odgovoru! :thumbup:

Evo nakon par detaljnih čitanja rešenja sam uspio shvatiti, samo bez rešenja bih stvarno teško prišao na ideju kako uopšte početi zadatak.

Hvala u svakom slučaju! :P
Korisnikov avatar
jorga01  OFFLINE
 
Postovi: 39
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: "Sistem" tri nejednačine?

Postod Daniel » Utorak, 27. Mart 2018, 22:15

Super što si rešio problem s tim zadatkom, :thumbup: samo, zašto ne bi to rešenje koje imaš podelio i s ostalima na forumu? Naravno, nisi obavezan da to učiniš, ali nekome bi u budućnosti moglo biti od velike pomoći...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: "Sistem" tri nejednačine?

Postod jorga01 » Sreda, 28. Mart 2018, 15:44

Važi, nije problem!

Rešenje: S obzirom da je sistem nejednačina simetričan u sve tri nepoznate, možemo uzeti da je [inlmath]x<y<z[/inlmath].
Iz druge nejednačine slijedi:
[dispmath]\frac{z}{x}(x-y)<x-y[/dispmath] odakle dobijemo pri dijeljenju s [inlmath](x-y)[/inlmath] nejednačinu
[dispmath]\frac{z}{y}>1[/dispmath] S obzirom da je [inlmath]z>1[/inlmath], mora biti [inlmath]y>0[/inlmath]. Iz treće nejednačine na sličan način dobijemo nejednačinu
[dispmath]\frac{y}{z}<1[/dispmath] Iz toga slijedi da je [inlmath]z>0[/inlmath], te [inlmath]z[/inlmath] mora biti manje od [inlmath]0[/inlmath]. Zajedno sa nejednakosti [inlmath]y>0[/inlmath] krši predpostavku da je [inlmath]y<z[/inlmath] i zbog toga rešenja sistema nema.
Poslednji put menjao Daniel dana Nedelja, 01. April 2018, 23:08, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje inlinemath-tagova
Korisnikov avatar
jorga01  OFFLINE
 
Postovi: 39
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: "Sistem" tri nejednačine?

Postod desideri » Sreda, 28. Mart 2018, 18:39

Nije pravilno reći "predpostavka" već pretpostavka.
Ostalo je manje više dobro- :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: "Sistem" tri nejednačine?

Postod Daniel » Sreda, 28. Mart 2018, 19:04

Hvala na ovom rešenju. Ipak, ne znam kako si uspeo shvatiti ovo rešenje, budući da u njemu postoje greške (osim, ako ja ne previđam nešto).

jorga01 je napisao:S obzirom da je [inlmath]z>1[/inlmath],

Na osnovu čega ovo zaključujemo? Niti je dat taj uslov u zadatku, niti smo prilikom rešavanja pretpostavili taj slučaj.

jorga01 je napisao:Iz treće nejednačine na sličan način dobijemo nejednačinu
[dispmath]\frac{y}{z}<1[/dispmath]

Ja iz treće nejednačine dobijam [inlmath]\displaystyle\frac{x}{z}>1[/inlmath].

jorga01 je napisao:[dispmath]\frac{y}{z}<1[/dispmath] Iz toga slijedi da je [inlmath]z>0[/inlmath], te [inlmath]z[/inlmath] mora biti manje od [inlmath]0[/inlmath].

Kako iz [inlmath]\displaystyle\frac{y}{z}<1[/inlmath] sledi [inlmath]z>0[/inlmath]? I kako iz [inlmath]z>0[/inlmath] zaključujemo da je [inlmath]z<0[/inlmath]?



Ajd da napišem kako bih ja nastavio to rešenje. U redu je pretpostavka [inlmath]x<y<z[/inlmath], njom se ne umanjuje opštost, jer su, kao što si i napisao, ove tri nejednačine simetrične u odnosu na [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]. Iz prve, druge i treće nejednačine dobijamo, respektivno:
[dispmath]\frac{y}{x}<1\\
\frac{z}{y}>1\\
\frac{x}{z}>1[/dispmath] Sad možemo odvojeno posmatrati slučajeve [inlmath]z<0[/inlmath] i [inlmath]z>0[/inlmath].

Slučaj [inlmath]\underline{z<0}[/inlmath]:
Zbog pretpostavke [inlmath]x<y<z[/inlmath] tada su sve nepoznate negativne, pa i [inlmath]y[/inlmath]. Iz nejednačine [inlmath]\displaystyle\frac{z}{y}>1[/inlmath] tada sledi [inlmath]z<y[/inlmath], što je suprotno pretpostavci [inlmath]x<y<z[/inlmath].

Slučaj [inlmath]\underline{z>0}[/inlmath]:
Iz nejednačine [inlmath]\displaystyle\frac{x}{z}>1[/inlmath] tada sledi [inlmath]x>z[/inlmath], što je takođe suprotno pretpostavci [inlmath]x<y<z[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: "Sistem" tri nejednačine?

Postod jorga01 » Četvrtak, 29. Mart 2018, 15:49

Hm, moguće.. :x

Na koji način ste došli do ovog
[dispmath]\frac{x}{z}<1[/dispmath] ako može objašnjenje?
Korisnikov avatar
jorga01  OFFLINE
 
Postovi: 39
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: "Sistem" tri nejednačine?

Postod Daniel » Četvrtak, 29. Mart 2018, 22:49

Ako može, bez persiranja. :) Nisam došao do [inlmath]\displaystyle\frac{x}{z}<1[/inlmath], već do [inlmath]\displaystyle\frac{x}{z}>1[/inlmath]. Do toga sam došao iz treće nejednačine, [inlmath]\displaystyle\frac{1}{z}\cdot x\cdot y<-z+x+y[/inlmath], tako što [inlmath]x[/inlmath] prebacim s desne na levu stranu,
[dispmath]\frac{1}{z}\cdot x\cdot y-x<y-z[/dispmath] a zatim na levoj strani izvučem zajednički [inlmath]\displaystyle\frac{x}{z}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{x}{z}(y-z)<y-z[/dispmath] Podelimo sada obe strane faktorom [inlmath](y-z)[/inlmath], ali, budući da je [inlmath](y-z)[/inlmath] negativno (zbog uslova [inlmath]y<z[/inlmath]), pri tome će se promeniti smer znaka nejednakosti:
[dispmath]\frac{x}{z}>1[/dispmath] Kada sam ovo isto radio s prvom i drugom nejednačinom, tada sam delio sa [inlmath](z-x)[/inlmath] odnosno sa [inlmath](x-y)[/inlmath]. Zbog uslova [inlmath]x<y<z[/inlmath], faktor [inlmath](z-x)[/inlmath] je pozitivan pa tada nije dolazilo do promene smera znaka nejednakosti, zbog čega sam dobio [inlmath]\displaystyle\frac{y}{x}<1[/inlmath], dok je faktor [inlmath](x-y)[/inlmath] negativan, pa se tada menja smer znaka nejednakosti i dobija se [inlmath]\displaystyle\frac{z}{y}>1[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 15 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs