Jednačina sa apsolutnim vrijednostima?

PostPoslato: Subota, 14. April 2018, 21:47
od jorga01
Zdravo!

Evo prvi put se susrećem sa ovakvim tipom nejednačine (apsolutna vrijednost unutar apsolutne vrijednosti) pa bih trebao pomoć. Naime, riječ je o sledećem zadatku:
[dispmath]\bigl||x-1|-2\bigr|=1-\frac{x}{2}[/dispmath] Ispravite me ako griješim, ova jednačina bi trebala imati četiri rešenja. Ako [inlmath]|x-1|[/inlmath] označimo sa [inlmath]|a|[/inlmath], a [inlmath]\bigl||x-1|-2\bigr|[/inlmath] sa [inlmath]|b|[/inlmath], jednačina se može riješiti za četiri različita slučaja tj. četiri različite kombinacije:

prva - [inlmath]|a|=a[/inlmath] i [inlmath]|b|=b[/inlmath]
druga - [inlmath]|a|=-a[/inlmath] i [inlmath]|b|=-b[/inlmath]
treća - [inlmath]|a|=a[/inlmath] i [inlmath]|b|=-b[/inlmath]
četvrta - [inlmath]|a|=-a[/inlmath] i [inlmath]|b|=b[/inlmath]

Re: Jednačina sa apsolutnim vrijednostima?

PostPoslato: Subota, 14. April 2018, 23:10
od Corba248
Može se tako rešiti, samo treba uvek uzeti u obzir uslove pod kojima se oslobađaš apsolutnih zagrada. Na primer, ako je (ne mislim na ovaj zadatak nego uopšte) [inlmath]|x-1|=x-1[/inlmath] onda važi uslov [inlmath]x\ge1[/inlmath], a dobiješ rešenje [inlmath]x=-5[/inlmath] onda to nije rešenje date jednačine.

Re: Jednačina sa apsolutnim vrijednostima?

PostPoslato: Nedelja, 15. April 2018, 14:31
od jorga01
A da, razumijem, hvala.

Inače rešenja koja sam ja dobio su: [inlmath]x=\left\{\frac{8}{3},0,-8,-4\right\}[/inlmath].

Potvrdiću da li je tačno kad dobijem rešenja od profesorice.

Re: Jednačina sa apsolutnim vrijednostima?

PostPoslato: Nedelja, 15. April 2018, 18:22
od Corba248
Uvek možeš sam proveriti rešenja koja si dobio uvrštavanjem istih u datu jednačinu. Koliko vidim samo [inlmath]2[/inlmath] rešenja zadovoljavaju početnu jednakost.

Re: Jednačina sa apsolutnim vrijednostima?

PostPoslato: Nedelja, 15. April 2018, 19:52
od jorga01
Ponovo sam uradio zadatak, na malo, meni, jednostavniji način.

Dakle posmatrao sam prvo dva slučaja: prvi - kad je cijela apsolutna zagrada (velika) pozitivna; drugi - kad je ista zagrada negativna, te dobio dva izraza. [inlmath]|x-1|-2[/inlmath] za prvi slučaj i [inlmath]-|x-1|+2[/inlmath] za drugi.

Onda slično kao i na prethodni način sam posmatrao još po dva slučaja za oba prethodna: prvi - kad je apsolutna zagrada pozitivna; drugi - kad je apsolutna zagrada negativna, te na kraju dobio četiri izraza koja glase:

prvi: [inlmath]x-1-2=1-\frac{1}{2}x[/inlmath], [inlmath]x=\frac{8}{3}[/inlmath]
drugi: [inlmath]-x+1-2=1-\frac{1}{2}x[/inlmath], [inlmath]x=-4[/inlmath]
treći: [inlmath]-x+1+2=1-\frac{1}{2}x[/inlmath], [inlmath]x=4[/inlmath]
četvrti: [inlmath]x-1+2=1-\frac{1}{2}x[/inlmath], [inlmath]x=0[/inlmath]

Nije mi jasno gdje griješim i kako da dva (poslije popravke jedno) rešenja nisu u redu.

Re: Jednačina sa apsolutnim vrijednostima?

PostPoslato: Nedelja, 15. April 2018, 21:08
od Corba248
Grešiš upravo tamo gde sam ti napomenuo da vodiš računa.
jorga01 je napisao:prvi: [inlmath]x-1-2=1-\frac{1}{2}x[/inlmath], [inlmath]x=\frac{8}{3}[/inlmath]

Da bi se ovako oslobodio apsolutnih zagrada moraš postaviti uslov [inlmath]x\ge3[/inlmath]. Slično važi i za treći slučaj.

Re: Jednačina sa apsolutnim vrijednostima?

PostPoslato: Sreda, 18. April 2018, 06:06
od Daniel
Naravno, ne treba zaboraviti ni uslov da, pošto je leva strana [inlmath]\ge0[/inlmath], mora biti i desna [inlmath]\ge0[/inlmath], tj. [inlmath]1-\frac{x}{2}\ge0[/inlmath].

Preporučujem ti i sledeće zadatke u kojima imaš apsolutne vrednosti unutar apsolutnih vrednosti: ovaj i ovaj.

Re: Jednačina sa apsolutnim vrijednostima?

PostPoslato: Četvrtak, 19. April 2018, 21:23
od jorga01
Hvala, dosta jasnije je sad.