Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Logaritamska nejednacina sa apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2016.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

Logaritamska nejednacina sa apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2016.

Postod diopo » Petak, 01. Jun 2018, 17:40

Prijemni ispit ETF – 27. jun 2017.
16. zadatak


16. Skup svih realnih rešenja nejednačine [inlmath]\displaystyle\frac{\bigl|\log_3\left|2x+3\right|\bigr|-3}{\log_3x}>0[/inlmath] je oblika (za neke realne brojeve [inlmath]a,b,c,d[/inlmath] takve da je [inlmath]0<a<b<c<d<+\infty[/inlmath])

Tacno resenje [inlmath]\enclose{box}{\text{(D)}}\;\left(a,b\right)\cup\left(c,+\infty\right)[/inlmath]


Mnogo se pogubim kad pokusam da se oslobodim apsolutnih vrednosti, verujem da postoji nacin da se postupak uprosti, ali ja ga ne vidim .. :/
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 57
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 16 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Logaritamska nejednacina sa apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2016.

Postod miletrans » Petak, 01. Jun 2018, 18:12

Generalno, svaka apsolutna vrednost ti daje "grananje" na dva slučaja. Pa kada naiđeš na novu apsolutnu vrednost (kao u ovom zadatku), opet se svaki taj slučaj grana na po dva nova "podslučaja". Generalno, u zadatku sa [inlmath]n[/inlmath] apsolutnih vrednosti ćeš imati [inlmath]2^n[/inlmath] slučajeva što neki put može da bude zametno.

U ovom konkretnom zadatku, stvar može da se pojednostavi. Odredi u kom intervalu [inlmath]x[/inlmath] mora da se nalazi da bi oba logaritma bila definisana i da bi imenilac bio različit od nule. Onda odredi kada je izraz unutar logaritma i apsolutne vrednosti pozitivan (tada samo "skidamo" apsolutnu vrednost), a kada je negativan (tada mu menjamo znak). Videćeš da će jedan od ta dva slučaja biti kontradiktoran sa "dozvoljenim" intervalom za [inlmath]x[/inlmath], pa nećeš morati da razmatraš četiri slučaja nego "samo" dva.

Pokušaj, pa ako bude problema reci da radimo dalje.
Globalni moderator
 
Postovi: 280
Zahvalio se: 36 puta
Pohvaljen: 296 puta

  • +1

Re: Logaritamska nejednacina sa apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2016.

Postod Daniel » Petak, 01. Jun 2018, 18:19

diopo je napisao:takve da je [inlmath]0<a<b<c<d<+\infty[/inlmath])

Sećam se ovog zadatka, upravo zbog ovog citiranog uslova, koji je pogrešno postavljen. Mislim da je zbog toga, ako se ne varam, taj zadatak na prijemnom bio svima priznat kao tačan.
Naime, dobije se kao rešenje da je [inlmath]x\in(0,1)\cup(12,+\infty)[/inlmath], što bi značilo da je [inlmath]a=0[/inlmath], iako je u tom uslovu zadato [inlmath]0<a[/inlmath].
Sad vidim da su u PDF-u tog prijemnog taj uslov ispravili. Dakle, ispravan je uslov [inlmath]{\color{red}-\infty}<a<b<c<d<+\infty[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7774
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta

Re: Logaritamska nejednacina sa apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2016.

Postod diopo » Petak, 01. Jun 2018, 20:01

Hvala obojici, poceo sam i ja sa uslovima za definisanost logaritama, ali prosto ne mogu da rascistim neke stvari u glavi. Evo pocecu zadatak da vidite gde se zbunim, pa ako moze jos pomoci.

Dakle, da bi logaritmi bili definisani moraju da budu ispunjeni sledeci uslovi:
[inlmath]1)\;x>0[/inlmath]
[inlmath]2)\;x\neq1[/inlmath] (da imenilac ne bi bio [inlmath]0[/inlmath])
[inlmath]3)\;x\neq-\frac{3}{2}[/inlmath] (ovaj uslov je i nebitan jer ga prvi uslov automatski iskljucuje)

Iz ova tri uslova dobijamo: [inlmath]x\in(0,1)\cup(1,+\infty)[/inlmath]

E, sad imam dve apsolutne kojih moram da se oslobodim. Ako [inlmath]\bigl\vert\log_3\vert2x+3\vert\bigr\vert[/inlmath] posmatram na intervalu na kome su logaritmi definisani ispada da je uvek pozitivna, takodje ako na istom intervalu posmatramo [inlmath]\vert2x+3\vert[/inlmath] isto je pozitivan. I tu se izgubim, ne znam kako da pronadjem te uslove..
Cini mi se da ovo sto ja radim nije isto kao sto si napisao ti mile, ali nisam bas najbolje razumeo sta si rekao ..

Izvinjavam se sto gnjavim ovoliko .. :unsure:
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 57
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 16 puta

Re: Logaritamska nejednacina sa apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2016.

Postod diopo » Petak, 01. Jun 2018, 20:29

Resio sam zadatak, ali sam vise puta proveravao da li je dobar latex i nije mi dao da editujem :facepalm: . Napisacu u editu ovog posta ili u sledecem resenje koje sam dobio, pa ako mozete da proverite.
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 57
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 16 puta

  • +1

Re: Logaritamska nejednacina sa apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2016.

Postod miletrans » Petak, 01. Jun 2018, 20:37

Ovaj uslov za koji si napisao da je "nebitan" je, naprotiv, poprilično bitan. Kako se oslobađamo apsolutne vrednosti? Ako je izraz unutar nje nenegativan, samo "skidamo" apsolutnu vrednost. U našem slučaju, eliminišemo nulu zbog definisanosti logaritma i za [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath] u brojiocu imamo [inlmath]\log_3(2x+3)[/inlmath]. Ali, za [inlmath]x<-\frac {3}{2}[/inlmath], u brojiocu bismo imali [inlmath]\log_3(-2x-3)[/inlmath]. Pošto si i sam (pravilno) zaključio da [inlmath]x[/inlmath] ne može da bude negativno, ovaj slučaj ne analiziramo dalje. Dakle, samo "skinemo" apsolutnu vrednost unutar logaritma i radimo dalje.
Globalni moderator
 
Postovi: 280
Zahvalio se: 36 puta
Pohvaljen: 296 puta

  • +1

Re: Logaritamska nejednacina sa apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2016.

Postod diopo » Petak, 01. Jun 2018, 20:50

Ja se stvarno izvinjavam sto postujem po treći put, ali ako proverim latex vise od jednom onda mi ne da da editujem post, a jos uvek nisam dovoljno vest da bih pogodio ceo latex iz prve :roll: :facepalm:

Evo postupka, koji bi trebalo da se poklapa sa upustvima @miletrans-a.


Prvo se oslobodimo apsolutne u logaritmu.
[inlmath]\vert2x+3\vert=\begin{cases}
2x+3, & x\ge-\frac{3}{2}\\
-2x-3, & x<-\frac{3}{2}
\end{cases}[/inlmath]

Vidimo da ovaj drugi slucaj ne moze, jer tu logaritmi nisu definisani, te svodimo nejednacinu na [inlmath]\frac{\vert\log_3(2x+3)\vert-3}{\log_3x}>0[/inlmath], zatim se oslobodimo i druge apsolutne, gde cemo ponovo eliminisati drugi slucaj:

[inlmath]\vert\log_3(2x+3)\vert=\begin{cases}
\log_3(2x+3), & x\ge-1\\
-\log_3(2x+3), & x<-1
\end{cases}[/inlmath]

Ovako smo sveli nejednacinu na [inlmath]\frac{\log_3(2x+3)-3}{\log_3x}>0[/inlmath] primenom osobina logaritma mozemo da dodjemo do [inlmath]\log_x\left(\frac{2x+3}{27}\right)>0[/inlmath] koji dalje radimo u dva slucaja: kada je [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath], tada menjamo znak nejednakosti, i drugi slucaj kada je [inlmath]x\in(1,+\infty)[/inlmath] i tada ostavljamo znak nejednakosti. Unijom ova dva slucaja dobija se resenje koje je gore napisao Daniel...

Da li je ovo u redu?

Inace, za taj treći uslov napisao sam da je nebitan jer mi je to bio uslov u okviru definisanosti logaritama ([inlmath]\vert2x+3\vert>0[/inlmath]), valjda je svakako nebitno sto [inlmath]x[/inlmath] ne sme da bude [inlmath]-\frac{3}{2}[/inlmath] ako vec znam da je [inlmath]x>0[/inlmath]? Naravno da je dalje potreban pri oslobadjanju apsolutnih vrednosti.
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 57
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 16 puta

  • +1

Re: Logaritamska nejednacina sa apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2016.

Postod miletrans » Petak, 01. Jun 2018, 21:19

diopo je napisao:...primenom osobina logaritma mozemo da dodjemo do [inlmath]\log_x\left(\frac{2x+3}{27}\right)>0[/inlmath]...

Ovde si nepotrebno zakomplikovao. Nisam pri papiru da proverim da li je tačno. Ali, zar nije jednostavnije da kada si se oslobodio i druge apsolutne vrednosti napišeš:
[dispmath]\frac{\log_3\left(\frac{2x+3}{27}\right)}{\log_3x}>0[/dispmath] i onda postaviš uslov da su brojilac i imenilac istog znaka.

Neka te ne brine LaTex! Niko se nije naučen rodio. Najvažnije je da se trudiš i pokušavaš, i uopšte ti ne ide loše. Veruj mi, s vremenom će ti ići sve lakše i lakše. Nisi napravio nijednu ozbiljniju grešku, tako da samo napred. Za neke sitnije korekcije, tu smo da pomognemo. A ako imaš problem sa LaTex-om, slobodno pitaj u odgovarajućem potforumu (preporučujem) ili pošalji PP nekom od moderatora.

EDIT: Jeste ti tačno ovo što si napisao (nešto sam bio zabagovao u trenutku). Naravno, može i tako da se uradi zadatak. Ali, i dalje mislim da je lakše ovo što sam ti predložio.
Globalni moderator
 
Postovi: 280
Zahvalio se: 36 puta
Pohvaljen: 296 puta

Re: Logaritamska nejednacina sa apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2016.

Postod Daniel » Subota, 02. Jun 2018, 01:06

diopo je napisao:Ja se stvarno izvinjavam sto postujem po treći put, ali ako proverim latex vise od jednom onda mi ne da da editujem post,

:?: Ovo nije predviđeno forumskim softverom. To koliko puta proveriš Latex nema nikakve veze s mogućnošću editovanja posta. Možda te buni to što je editovanje posta vremenski ograničeno na 15 minuta od trenutka objavljivanja (prvobitno je bilo na pet minuta, ali nakon molbe jednog od članova povećao sam na 15).

Što se postupka tiče, potvrđujem i ja da je sasvim tačan. Ipak, slažem se s miletransom da je jednostavnije da se posmatra znak brojioca i imenioca i da nema potrebe za logaritamskim transformacijama.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7774
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta

  • +1

Re: Logaritamska nejednacina sa apsolutnim vrednostima – ETF prijemni, 2016.

Postod Daniel » Subota, 02. Jun 2018, 01:36

miletrans je napisao:Ali, zar nije jednostavnije da kada si se oslobodio i druge apsolutne vrednosti napišeš:
[dispmath]\frac{\log_3\left(\frac{2x-3}{27}\right)}{\log_3x}>0[/dispmath]

Ja bih brojilac ostavio da bude [inlmath]\log_3(2x+3)-3[/inlmath], mislim da je tako za nijansu jednostavnije. Pa onda za slučaj [inlmath]0<x<1[/inlmath]:
[dispmath]\log_3x<0\enspace\Longrightarrow\enspace\log_3(2x+3)-3<0\enspace\Longrightarrow\enspace\log_3(2x+3)<3\enspace\Longrightarrow\enspace2x+3<27\enspace\Longrightarrow\enspace x<12[/dispmath] što u preseku s uslovom ovog slučaja daje [inlmath]0<x<1[/inlmath]. Slično i za slučaj [inlmath]x>1[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7774
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Mile2003 i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 09. Decembar 2019, 09:08 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs