18. zadatak
Zbir svih realnih rešenja jednačine: [inlmath]2\sqrt x\cdot4^x+5\cdot2^{x+1}+2\sqrt x=2^{2x+2}+5\sqrt x\cdot2^x+4[/inlmath]
Imamo uslov da potkorjena veličina mora biti veća ili jednaka od nule :[inlmath]x\geq0[/inlmath]
Sada sve prebacimo na levu stranu:
[dispmath]\sqrt x\cdot2^{2x+1}-2\cdot2^{2x+1}+5\cdot2\cdot2^x-5\cdot\sqrt x\cdot2^x+2\cdot\sqrt x-4=0\\
2^{2x+1}\cdot\left(\sqrt x-2\right)+5\cdot2^x\cdot\left(2-\sqrt x\right)+2\cdot\left(\sqrt x-2\right)=0\\
2^{2x+1}\cdot\left(\sqrt x-2\right)-5\cdot2^x\cdot\left(\sqrt x-2\right)+2\cdot\left(\sqrt x-2\right)=0\\
\left(\sqrt x-2\right)\cdot\left(2\cdot2^{2x}-5\cdot2^x+2\right)=0[/dispmath] Sada diskutujemo kada je ovaj izraz jednak nuli:
[inlmath]1.[/inlmath] slučaj:
[dispmath]\sqrt x-2=0\iff\sqrt x=2\;\Longrightarrow\;x=4[/dispmath]
[inlmath]2.[/inlmath] slučaj:
[dispmath]2\cdot2^{2x}-5\cdot2^x+2=0[/dispmath]
- Uvedemo smenu da je [inlmath]2^x=t[/inlmath][dispmath]\sqrt x-2=0\iff\sqrt x=2\;\Longrightarrow\;x=4[/dispmath]
[inlmath]2.[/inlmath] slučaj:
[dispmath]2\cdot2^{2x}-5\cdot2^x+2=0[/dispmath]
[dispmath]2t^2-5t+2=0[/dispmath] rešenja kvadratne jednačine: [inlmath]t_1=2\;\land\;t_2=\frac{1}{2}[/inlmath]
Kada se vratimo u smenu: [inlmath]2^x=2\;\Longrightarrow\;x=1,\quad 2^x=\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\;x=-1[/inlmath] (Drugo rešenje otpada zbog definicionog područja)
Kada saberemo dobijena rešenja: [inlmath]4+1=5[/inlmath], dobit ćemo tačno rešenje: [inlmath]5[/inlmath]