Eksponencijalna jednačina – probni prijemni ETF 2017.

PostPoslato: Nedelja, 10. Jun 2018, 23:03
od kazinski
Probni prijemni ispit ETF - 10. jun 2017.
15. zadatak


Ukupan broj realnih rešenja sistema jednačina: [inlmath]\displaystyle\frac{2\cdot4^x+1}{2^x+2}-4^x=\frac{y}{2^{x+1}+4}\quad\land\quad4\cdot2^{3x}+y^2=4[/inlmath], rešenje je [inlmath]1[/inlmath].

Iz prve jednačine sledi:
[dispmath]\frac{2\cdot4^x+1}{2^x+2}-4^x=\frac{y}{2\cdot\left(2^x+2\right)}[/dispmath] sada pomnožimo sve sa: [inlmath]2\cdot\left(2^x+2\right)[/inlmath]

Posle sređivanja imamo:
[dispmath]2-2\cdot2^{3x}=y[/dispmath] Kvadriramo sada obe strane prethodne jednakosti:
[dispmath]y^2=4\cdot2^{6x}-8\cdot2^{3x}+4[/dispmath] Uvrstimo sada [inlmath]y^2[/inlmath] u drugu jednačinu početnog sistema:
[dispmath]4\cdot2^{3x}+y^2=4\\
4\cdot2^{3x}+4\cdot2^{6x}-8\cdot2^{3x}+4-4=0\\
2^{6x}-2^{3x}=0\\
2^{3x}\cdot\left(2^{3x}-1\right)=0\\
2^{3x}=1\;\Longrightarrow\;x=0\;\Longrightarrow\;y=0[/dispmath]