Jedno zajedničko rjesenje dve kvadratne jednačine

PostPoslato: Četvrtak, 07. Februar 2019, 20:57
od Kukra
Za koje vrijednosti parametra [inlmath]m[/inlmath], jednačine imaju jedno zajedničko rješenje?
[inlmath]2x^2-(3m+2)x+12=0[/inlmath] i
[inlmath]4x^2-(9m-2)x+36=0[/inlmath]
Rjesenje je [inlmath]m=3[/inlmath], a zajedničko rjesenje jednačine je [inlmath]4[/inlmath]. Ja sam pokusavao da rijesim koristeći Vijetova pravila al sam dobijao nekoliko jednačina i vrtio se samo u krug.

Re: Jedno zajedničko rjesenje dve kvadratne jednačine

PostPoslato: Četvrtak, 07. Februar 2019, 21:27
od Daniel
Na dobar način si krenuo, najlakše je preko Vietovih pravila. Treba da se dobije sistem od četiri jednačine s četiri nepoznate, koji se relativno lako rešava. Možeš li napisati te jednačine koje si dobio, pa da vidimo gde se pojavio problem?

Re: Jedno zajedničko rjesenje dve kvadratne jednačine

PostPoslato: Četvrtak, 07. Februar 2019, 21:40
od Kukra
[dispmath]x_1=y_1[/dispmath] to je dati uslov zadatka i iz vietovih formula [inlmath]x_1+x_2=-\frac{b}{a}[/inlmath] i [inlmath]x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}[/inlmath] i [inlmath]y_1+y_2=-\frac{b}{a}[/inlmath] i [inlmath]y_1\cdot y_2=\frac{c}{a}[/inlmath]
[dispmath]\vdots[/dispmath] [inlmath]x_1+x_2=\frac{3\cdot m+2}{2}[/inlmath] i [inlmath]x_1\cdot x_2=6[/inlmath] i [inlmath]x_1+y_2=\frac{9\cdot m-2}{4}[/inlmath] i [inlmath]x_1\cdot y_2=9[/inlmath], Dobio sam ove 4 jednacine i nisam nikako mogao da odredim m.??

Re: Jedno zajedničko rjesenje dve kvadratne jednačine

PostPoslato: Četvrtak, 07. Februar 2019, 22:29
od Daniel
OK, numerišimo jednačine radi lakšeg opisa postupka:
[dispmath]x_1+x_2=\frac{3\cdot m+2}{2}\tag1[/dispmath][dispmath]x_1\cdot x_2=6\tag2[/dispmath][dispmath]x_1+y_2=\frac{9\cdot m-2}{4}\tag3[/dispmath][dispmath]x_1\cdot y_2=9\tag4[/dispmath] Iz [inlmath](2)[/inlmath] izrazi [inlmath]x_2[/inlmath] preko [inlmath]x_1[/inlmath] i to uvrsti u [inlmath](1)[/inlmath]. Zatim, isto tako, iz [inlmath](4)[/inlmath] izrazi [inlmath]y_2[/inlmath] preko [inlmath]x_1[/inlmath] i to uvrsti u [inlmath](3)[/inlmath]. Time si ovo sveo na sistem od dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]x_1[/inlmath]. Radi eliminacije nepoznate [inlmath]m[/inlmath], jednu od te dve jednačine će biti potrebno pomnožiti sa [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath], nakon čega se izvrši oduzimanje jedne od druge, čime se dobija samo jednačina po [inlmath]x_1[/inlmath]...

Re: Jedno zajedničko rjesenje dve kvadratne jednačine

PostPoslato: Četvrtak, 07. Februar 2019, 22:48
od Kukra
Hvala mnogo, ja sam na kraju jednu od te dve jednacine pomnozio sa [inlmath]-3[/inlmath] i sabrao ih, zatim dobio nepotpunu kvadratnu jednacinu cije je [inlmath]x_1[/inlmath] prvo rjesenje [inlmath]0[/inlmath] sto je nemoguce, a drugo je [inlmath]4[/inlmath] i uvrstio u jednu od dobijenih jednacina i dobio da je [inlmath]m=3[/inlmath].