Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 19. Jun 2019, 22:08
od Nevena12
Prijemni ispit MATF – 29. jun 2011.
7. zadatak


Zbir svih rešenja jednačine
[dispmath]x+\sqrt{x^2+16}=\frac{40}{\sqrt{x^2+16}}[/dispmath] je:

Rešenje je [inlmath]3[/inlmath].

Imam utisak da je zadatak baš lak, pokušala sam da ga uradim uvodeći smenu za [inlmath]\sqrt{x^2+16}[/inlmath] ali nisam time ništa postigla.

Hvala unapred :D

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 19. Jun 2019, 22:47
od Daniel
Pomnoži obe strane sa [inlmath]\sqrt{x^2+16}[/inlmath].

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 19. Jun 2019, 23:18
od Nevena12
Dobijam dva rešenja: [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]-3[/inlmath]
Ali nisam imala nikakav uslov osim da je [inlmath]x^2+16>0[/inlmath], a to je tačno za svako [inlmath]x[/inlmath]

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 19. Jun 2019, 23:34
od Ojler79532
Kad uvrstiš [inlmath]-3[/inlmath] u polaznu dobiješ [inlmath]-3+5=8[/inlmath], a to nije tačno.

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 19. Jun 2019, 23:41
od Daniel
Kad dođeš do koraka
[dispmath]x\sqrt{x^2+16}=24-x^2[/dispmath] moraš pre kvadriranja obe strane postaviti odgovarajuće uslove, budući da se kvadriranjem gubi informacija o predznaku (kao npr. što se nakon kvadriranja netačne jednakosti [inlmath]-3=3[/inlmath] dobije tačna jednakost [inlmath]9=9[/inlmath]).
Prema tome, potrebno je postaviti uslov da su obe strane istog znaka. Budući da je kvadratni koren uvek nenegativan, uslov se svodi na
[dispmath]\left(x\ge0\;\land\;24-x^2\ge0\right)\;\lor\;\left(x\le0\;\land\;24-x^2\le0\right)[/dispmath] (U ovom konkretnom zadatku može i ovako kako je Ojler79532 predložio, proverom da li dobijena rešenja zadovoljavaju polaznu jednačinu – ali to „ne pali“ uvek, pogotovo kod nejednačina.)

Re: Zbir svih rešenja iracionalne jednačine – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 19. Jun 2019, 23:49
od Nevena12
A da, zaboravila sam na taj uslov.
Okej, hvala vam :D