Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Zbir rešenja jednačine sa parametrima – probni prijemni ETF 2014.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Moderator: Corba248

  • +1

Zbir rešenja jednačine sa parametrima – probni prijemni ETF 2014.

Postod Jovan111 » Nedelja, 23. Jun 2019, 08:32

Probni prijemni ispit ETF – 13. jun 2014.
4. zadatak


Zbir rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\frac{2b}{x-a}-\frac{b^2}{(x-a)\sqrt{x^2-2ax+a^2}}=1\enspace(a,b>0)[/inlmath] iznosi:
[inlmath]A)\;4a+4b;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2a+2b-b\sqrt2;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;a+b;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;3a+3b;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{E)}\;3a+3b-b\sqrt2.[/inlmath]



Uočimo kvadrat binoma pod korenom, te jednačinu svedemo na ekvivalentan oblik:
[dispmath]\frac{2b}{x-a}-\frac{b^2}{(x-a)|x-a|}=1[/dispmath] U slučaju kada je [inlmath]x-a>0[/inlmath], apsolutne vrednosti se oslobađamo kao [inlmath]|x-a|=x-a[/inlmath], nakon čega se nizom transformacija dobija kvadratna jednačina čije je jedno dvostruko rešenje [inlmath]x_{1/2}=a+b[/inlmath], koje zadovoljava polazni uslov za oslobađanje od apsolutne vrednosti.

U slučaju kada je [inlmath]x-a<0[/inlmath], apsolutne vrednosti se oslobađamo kao [inlmath]|x-a|=-(x-a)[/inlmath], nakon čega se nizom transformacija dobija kvadratna jednačina čije je rešenje [inlmath]x_{3/4}=a+b\pm b\sqrt2[/inlmath], pri čemu samo rešenje [inlmath]x_4=a+b-b\sqrt2[/inlmath] zadovoljava polazni uslov za oslobađanje od apsolutne vrednosti.

Konačno rešenje zadatka bi bilo, po meni,
[dispmath]a+b+a+b-b\sqrt2=2a+2b-b\sqrt2[/dispmath] jer ja, bar do sada, nikada nisam na jedno dvostruko rešenje kvadratne jednačine (konkretno mislim na [inlmath]x_{1/2}=a+b[/inlmath]) gledao kao na dva rešenja koja bi (kao što zadatak traži) trebalo uračunati dva puta pri traženju zbira rešenja. Da li grešim, i da li je onda zaista slučaj da se uvek to jedno rešenje gleda kao dva?
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 157 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Zbir rešenja jednačine sa parametrima – probni prijemni ETF 2014.

Postod Daniel » Nedelja, 23. Jun 2019, 13:12

Hm, vrlo zanimljivo pitanje, nisam dosad razmišljao o tome. :think1: Po nekoj mojoj logici, kaže se da kvadratna jednačina može imati ili dva realna i različita rešenja, ili jedno dvostruko realno rešenje, ili dva konjugovano-kompleksna rešenja. Dakle, čim se za to rešenje kaže da je jedno dvostruko realno rešenje, logično bi bilo da se ne sabira sa samim sobom, nego u zbiru rešenja učestvuje samo jednom. Konkretno, u ovom zadatku, ja bih za zbir zaokružio [inlmath]2a+2b-b\sqrt{2}[/inlmath].

Lično ne očekujem da će se tako nešto pojaviti na prijemnom, budući da sastavljači zadataka za prijemni izbegavaju bilo kakvu moguću dvosmislenost, ali svakako bi valjalo otkloniti ovu nedoumicu. Voleo bih da čujemo i mišljenja drugih.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7778
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

Re: Zbir rešenja jednačine sa parametrima – probni prijemni ETF 2014.

Postod miletrans » Nedelja, 23. Jun 2019, 18:53

Ovde mogu samo da se složim sa obojicom. Ne vidim zašto bi se dvostruko rešenje sabiralo dva puta ako se traži zbir svih rešenja. Postupak koji je napisao Jovan111 je onako kako bih ga ja radio i zaokružio bih isto rešenje kao Daniel. Opet kažem ovo, je moje mišljenje i tumačenje.
Globalni moderator
 
Postovi: 280
Zahvalio se: 36 puta
Pohvaljen: 296 puta

  • +1

Re: Zbir rešenja jednačine sa parametrima – probni prijemni ETF 2014.

Postod Jovan111 » Sreda, 26. Jun 2019, 16:51

Samo da obavestim one kojima je ovo pitanje bilo interesantno (ili je stvorilo i najmanju nedoumicu) da sam dobio pouzdanu informaciju da je te godine bilo tačno rešenje [inlmath]2a+2b-b\sqrt2[/inlmath], a da je odgovor pod [inlmath]E[/inlmath] pogrešno zaokružen :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 157 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 13. Decembar 2019, 03:16 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs